382 优化设计方法-拟合-最小二乘法

382 优化设计方法-拟合-最小二乘法

背景

确定优化模型后，就可以利用已知数据对模型中的待定常系数进行拟合确定。

已知数据可为软件计算数据，也可为实验数据。

基于数据分析建立的优化模型，已知数据的质量和数量很重要；所有已知数据应形成一张网，网的宽度应覆盖参数变化范围，网格不能太大（网格太大可能会造成最佳值的遗漏）。

基于机理分析建立的优化模型，已知数据个数不少于待定的常系数个数即可，但已知数据的分布也应一定的代表性。

拟合方法-最小二乘法

优化模型中常系数的拟合方法很多（尤其当机理模型中知道各常系数的物理含义时），常用的方法是最小二乘法（对数据分析法模型和机理法模型均适用）。

下面以某气扫式膜蒸馏装置产水速率函数拟合为例，其简化模型为（式1）：

M_WP=aT_F² + bm_SG^0.8

式中，a、b为待拟合的方程系数。

设有三组已知数据，按(M_WP, T_F, m_SG)格式为：

(2.2, 45.3, 3.1)

(3.8, 60.0, 3.6)

(2.8, 50.2, 4.3)

则每组料液温度和吹扫气流量下模型计算值为（式2）：

M_WP1=45.3² a + 3.1^0.8 b

M_WP2=60.0² a + 3.6^0.8 b

M_WP3=50.2² a + 4.3^0.8 b

最小二乘法的基本思想是使产水速率的模型计算值与已知值之差的平方和S最小，即（式3）。

S=(M_WP1-2.2)² + (M_WP2-3.8)²+ (M_WP3-2.8)²

把式2中M_WP1、M_WP2、M_WP3代入式3，可得到一个S为因变量，a、b为自变量的函数（该函数为a、b的二次方程），即（式4）：

S=(45.3²a+3.1^0.8b-2.2)² + (60.0²a+3.6^0.8b-3.8)² + (50.2²a+4.3^0.8b-2.8)²

把S分别对a、b求偏导并令偏导为0，即：

（式5A）

(эS/эa)_b=2*45.3² (45.3²a+3.1^0.8b-2.2) + 2*60.0²(60.0²a+3.6^0.8b-3.8) + 2*50.2² (50.2²a+4.3^0.8b-2.8)=0

（式5B）

(эS/эb)_a=2*3.1^0.8 (45.3²a+3.1^0.8b-2.2) + 2*3.6^0.8(60.0²a+3.6^0.8b-3.8) + 2*4.3^0.8 (50.2²a+4.3^0.8b-2.8)=0

式5A和式5B联立，是一个a、b为变量的二元一次方程组，求解该方程组，可得：

a=0.001024

b=0.05025

把a、b代入式1，即得到产水速率拟合方程（也称经验方程、关联方程等）。

拟合结果校验

确定优化模型中的常系数后，还需再代入优化模型（式2）进行校验，此例中：

M_WP1=45.3² *0.001024 + 3.1^0.8 *0.05025=2.2256

与已知数据偏差为：

2.2256-2.2=0.0256，1.2%

M_WP2=60.0² *0.001024 + 3.6^0.8 *0.05025=3.8264

与已知数据偏差为：

3.8264-3.8=0.0264，0.7%

M_WP3=50.2² *0.001024 + 4.3^0.8 *0.05025=2.7419

与已知数据偏差为：

2.7419-2.8=-0.0581，-2.1%

校验时，不能只看多个点的平均偏差，更需要关注最大偏差值，否则可能会遗漏最佳优化结果。

加权最小二乘法

如果拟合后的优化函数在部分点的误差过大，可在计算S值时对该点增加权重系数（式4中各项前系数均为1，如果某点经校验发现误差过大，可增加该项前系数，即为加权系数）。

此外，如果在拟合方程系数时想让某些工况时的拟合精度高一些，也可对这些工况的项前增加权重系数（如想让料液温度较高时精度高一些，可在料液温度60.0℃的项前采用大于1的权重系数）。