为什么光子没有质量却有能量？
来源：公众号“长尾科技”
首先，我们要知道，牛顿力学里的物理定律具有伽利略协变性，而狭义相对论里的物理定律具有洛伦兹协变性。于是，为了让动量守恒定律具有洛伦兹协变性，我们不得已修改了动量的定义，符合狭义相对论精神的新动量：
有了这个新动量，我们再修改了新动能：
从这个新动能里，爱因斯坦把mc²解读为物体静止时具有的能量，所以我在《你也能懂的质能方程E=mc²》里也一直强调我们前面提到的都是物体静止时的能量，然后通过质能方程算出了度量这个静止时能量的（静）质量。
这里并没有考虑动能E，也就是没有考虑物体运动的情况。从狭义相对论的新动能表达式里，我们还能看出来物体的总能量（动能+静能）其实就是那个γmc²。
γ的表达式是这样的：
因此，在《你也能懂的质能方程E=mc²》里我们考虑的都是静止物体的质能方程，现在为了处理运动的物体（包括光），我们要考虑包含总能量E=γmc²的质能动方程。
我们来盘算一下：狭义相对论里的新动量p（γmv）已经有了，总能量E（γmc²）也有了，γ的表达式也是已知的，我们要寻找E、p、m之间的质能动方程，其实本质就是要把速度v消去就行了。
在静止物体的质能方程E=mc²里，因为物体是静止的，它的速度为0，所以他的静能和静质量之间就有这样一个对应关系。但是，我们现在要考虑总能量E=γmc²，这个总能量E就是跟物体的速度有关的（γ跟速度v有关），因为总能量就包括了物体的动能。
有些人的做法就是给总能量E配一个对应的动质量γm，让动质量把这个速度v吃进去。但是，我们现在不再使用动质量γm了，所以就要找一个另外的东西把总能量E里的速度分离出去，而动量p=γmv就是一个非常好的选择。
好，思路有了，剩下的就是纯数学推导：已知总能量E=γmc²，动量p=γmv，γ的表达式如上图，请找出一个可以消去速度v，只包含E、p、m和c的关系式。
其中，γ的表达式为：
反正不管你怎么推导，两个表达式让你消去一个速度v，总是可以办得到的。我也懒得管你中间是怎么推导的，我贴一个非常简单的推导过程：
你们看，我构造了一个E²-p²c²，然后它们产生的一个c²-v²刚好跟γ²里的c²-v²约掉了，于是得到的结果里就不再含有速度v了。
于是，我们就得到了一个包含总能量E（γmc²）以及动量p（γmv）的新质能方程，而这个新方程就包含了物体运动时的情况，它的运动部分就体现在动量身上：
你要问我为什么会想到去构造E²-p²c²这么一个东西，其实，就算你不去这样构造，就用最简单的消元法把速度v消去，最后还是会得到这个式子。我们是反过来研究，为什么E²-p²c²刚好就是一个不变量（只跟质量m和光速c有关，跟速度v无关，因此不会随着参考系的变化而变化）呢？
一个一米长的木棍，不管在空间中怎么旋转，它的长度都是一米。如果我们站在更高的维度，从4维语言去看狭义相对论，会发现E²-p²c²刚好是4维动量的模，大家现在不用细究，有个印象就行了，感兴趣的可以看看yubr的这篇《四维形式的狭义相对论及其动力学》。
总之就是，当能量E只是静能的时候，我们得到的质能方程是E=mc²。如果我们扩大能量的范围，把动能也加进来，让能量E表示总能量时，我们得到全新的质能方程就是下面这样的：
可以看到，当物体的速度为0时，这个动量p就等于0，于是这个新质能动方程就回到了我们熟悉的质能方程。而且，这里一样没有使用动质量，我们只有一个质量m，就是静质量，以后我们说的质量也全都是指的这个。
回答光子问题
有了这个使用范围更广的质能动方程，我们再来看看如何用它来解释为什么光子没有质量却有能量这回事。
直观地看，这个问题似乎特别简单，因为光子的质量为0，就是说质能动方程的质量m为0。但是，质量m这一项为0之后，我们还剩下了E²=p²c²，化简一下就是E=pc。
也就是说，虽然光子的质量m为0，但是它依然有能量，原因就是它的能量E全部来自光子的动量p，这样就能解释为啥光子没有质量却有能量了。
但是，问题并没有看上去那么简单。没错，E=pc确实告诉我们光子的能量还可以来自它的动量p。但是你仔细一想，狭义相对论里的新动量的定义是这样的：
这个动量p跟物体的质量m和速度v有关，而光子没有质量啊，那还怎么定义动量？总不能说因为光子的质量为0，所以光子的动量恒为0吧。更严重的是，我们知道光子的速度是光速c，如果把光速c代入到分母的v，你会发现分母直接等于0了，这个式子直接无意义了。
所以，你会发现我们得到的符合狭义相对论精神的新动量对光子并不适用，同理那个新能量E=γmc²对光子一样不适用。而我们的新质能动方程又是从这个新动量p=γmv、新总能量E=γmc²里推出来的，如果光子不符合这个动量、能量，那么它会服从从它们推出来的质能动方程么？
这是个比较尴尬的事情，在狭义相对论里，有质量的粒子和无质量的光子在动量、能量的定义上无法取得统一。
那怎么办呢？
我们知道光子肯定是有能量的，爱因斯坦在解释光电效应的时候，创造性的认为光子的能量E跟它的频率ν有关，也就是E=hν(h是普朗克常数，ν是光的频率)。
然后，我们发现虽然光子不满足新动量p=γmv和新总能量E=γmc²，但是却满足从质能动方程里得到的E=pc（让m等于0得到的），这样光子的动量p就可以写成p=E/c=hν/c。
于是，光子的能量（hν）有了，动量(hν/c)也有了，它们依然满足新的质能动方程：
因此，有质量的粒子，没质量的光子，静止的（p=0），运动的物体就都满足这个方程了。所以，这才是更普适的质能方程。
仔细看看，你会发现它的形式是满足勾股定理的。所以，我们可以画一个直角三角形，E就是斜边，mc²和pc分别就是两个直角边，它们一起构成了质能动三角形。
当速度为0时，pc这条边长度为0，E就等于mc²；当质量为0时，mc²这条边就为0，E就等于pc。
有了这样的认识，我们再来回答题目的问题：为什么光子没有质量却有能量？
因为光子虽然没有质量E，但是它有动量p，所以它有能量E。并且，光子的动量p（hν/c）和能量（hν）的定义方式是按照量子力学来的，跟狭义相对论里有质量物体的动量和能量的定义并不一样，但是它们都遵守推广之后的质能方程。
这样，大家把整个问题的前因后果想明白了么？
有了这个推广之后普适的质能方程，大家应该就可以彻底放弃动质量这个概念了，从这个普适的质能方程思考就完了。
编辑：Lemon