八上19讲 期末复习1 一次函数全章易错题归纳
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期末考试迫在眉睫，因此，计划用3－4讲，做一个全面的知识点与易错题梳理，希望对广大考生有帮助．本讲针对一次函数中一些小的知识点，作再一次的归纳．
一．再谈k与b的重要性
例1：
已知一次函数y＝(4－2m)x－(m－3)，求m的值或范围．
(1)y随x的增大而增大．
(2)图像经过一、二、四象限．
(3)图像经过一、三象限．
(4)图像不经过第三象限．
(5)图像与y轴交点在x轴上方．
分析：
这类题目常考常错，很多学生头脑混乱，必须梳理清楚．
首先，确定式子中谁是k和b．
k是(4－2m)，b是－(m－3)，注意，要带上前面的负号！
其次，明确k和b的作用．
k，确定函数的增减性，
k＞0，y随x的增大而增大，图像必过一三象限．
k＜0，y随x的增大而减小，图像必过二四象限．
b，确定函数图像与y轴的交点，
若b＞0，则交于y轴正半轴，即x轴上方，
若b＜0，则交于y轴负半轴，即x轴下方．
解答：
例2：
已知一次函数y＝kx＋b－x的图像与x轴的正半轴相交，且函数值y随x的增大而增大，求k，b的范围．
解析：
首先，我们要将一次函数进行化简，
得到y＝(k－1)x＋b
此时，k－1作为k，根据题意可求范围．值得注意的是，这里问的是与x轴的交点，则可以画草图确定b的范围．
例3：
请在同一直角坐标系内，画出y＝kx＋b与y＝kbx(k，b均不为0)的图像的所有可能情况．
解析：
我们可以先根据k，b的情况，画出一次函数的图像，
再根据kb的正负性，确定正比例函数的图像．
二、待定系数法的运用及变式
例4：
按要求求函数解析式
(1)已知y＋2与3x成正比例，当x＝1时，y＝4．
(2)直线y＝kx＋b过点(2，－1)，直线y＝x＋3交于y轴同一点．
(3)直线y＝kx＋b过点(2，－1)，与直线y＝x＋3平行．
(4)直线y＝kx＋b过点(2，－1)，与直线y＝x＋3交于点(a，4)．
分析：
错因如下：
(1)该题错误率很高，主要在于求出所设的k后，直接写成了y＝kx的形式，注意，应将k代回原解析式．
(2)有部分同学解题时，似乎不知道交点在哪，其实就是y＝x＋3与y轴的交点啊．
(3)忘掉了两直线平行时， k相同．
(4求不出a，思维不灵活，(a，4)也在y＝x＋3上，代入即可求a．
解答：
(1)设y＋2＝k·3x
把(1，4)代入得
6＝3k
k＝2
∴y＋2＝6x，
y＝6x－2
(2)由题意得，交点为(0，3)
设y＝kx＋3
把(2，－1)代入得，
2k＋3＝－1，k＝－2
∴y＝－2x＋3
(3)由题意得，设y＝x＋b
把(2，－1)代入得，
2＋b＝－1
b＝－3
∴y＝x－3
(4) 把(a，4)代入y＝x＋3得，
a＋3＝4，a＝1
∴交点为(1，4)
设y＝kx＋b
把(2，－1)，(1，4)代入得
∴y＝－5x＋9
三、图像的两种平移
例5：
y＝2x＋2的图像如何平移经过点(1，－4)？
分析：
一次函数图像的平移，是直线的平移，无非是上下平移，或者左右平移，而直线是由无数个点组成，我们在平移时，只需牢记两点，
上下平移，抓图像与y轴交点的坐标，
左右平移，抓图像与x轴交点的坐标，
利用通法，可以解决所有平移问题．但如果深入研究，你会发现：
令横坐标相同，可以研究上下平移，
令纵坐标相同，可以研究左右平移，
比通法再简单些．
解答：
法1：
设经过点(1，0)的直线解析式为y＝2x＋b
把(1，－4)代入得
y＝2x－6
(1) y＝2x＋2与y轴交点(0，2)
y＝2x－6与y轴交点(0，－6)
(0，2)向下平移8个单位到(0，－6)
y＝2x＋2向下平移8个单位过点(1，－4)
(2) y＝2x＋2与x轴交点(－1，0)
y＝2x－6与x轴交点(3，0)
(－1，0)向右平移4个单位到(3，0)
y＝2x＋2向右平移4个单位过点(1，－4)
法2：
(1) y＝2x＋2，令x＝1，y＝4
(1，4) 向下平移8个单位到(1，－4)
y＝2x＋2向下平移8个单位过点(1，－4)
(2) y＝2x＋2，令y＝－4，x＝－3
(－3，－4) 向右平移4个单位到(1，－4)
y＝2x＋2向右平移4个单位过点(1，－4)
例6：
求将y＝2x＋3向下平移4个单位，再向右平移2个单位的函数解析式．
分析：
依旧应该抓点的坐标，此时我们应该知道，任意一点坐标皆可，但选择与y轴交点坐标，计算量最小．
当然，如果在课外知道平移口诀“上加下减，左加右减”，对于这类告诉具体平移量的填空选择题，还是可以一用的．
解答：
法1：
y＝2x＋3与y轴交点(0，3)
(0，3) 向下平移4个单位，
再向右平移2个单位到(2，－1)
设平移后y＝2x＋b
把(2，－1)代入得
y＝2x－5
法2：
y＝2(x－2)＋3－4
＝2x－5
四、看图解不等式和方程组
例7：
如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是__________.
分析：
这题，很多同学的第一想法，就是把点P的坐标代入两个解析式，求出解析式后再解不等式，这样的做法固然不错，但还是太麻烦了．
我们应该这样考虑，x＋b＝kx＋6，即找到两函数值相等时x的值，即求两图像的交点的横坐标，此时x为3．
x＋b＞kx＋6，说明对于同样的x，函数y＝x＋b的值大于函数y＝kx＋6的值，在图像上，即直线y＝x＋b的图像在直线y＝kx＋6的上方，只需观察对应的x在3的左侧还是右侧．
解答：
如图，x＞3
例8：
解析：
五、你考虑多解了吗？
例9：
已知一次函数y＝kx＋b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，求一次函数的解析式．
分析：
这类题，很多学生无从下手，但其实不难．
由于一次函数的图像是一条直线，它的增减性不会变化，要么随x增大而增大，要么随x增大而减小，因此，给出了自变量和函数的取值范围，即知道了2个临界点的坐标，或(1，3)，(4，6)，或(1，6)，(3，4)．
解答：
把(1，3)，(4，6)代入得
y＝x＋2
把(1，6)，(3，4) 代入得
y＝－x＋7
综上y＝x＋2或y＝－x＋7
例10：
如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)．
(1)求b，m的值．
(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，
若线段CD长为2，求a的值．
分析：
(1) 先将点P坐标代入l1，可求b，再代入l2，可求l2解析式．
(2) 两解，CD若在P点左侧，则yD－yC＝2，CD若在P点右侧，则yC－yD＝2．
解答：
小结：
应该说，一次函数的知识点还是很琐碎的，但结合之前的3个专题和本讲复习，基本已经做到全覆盖．
对于方案类的应用题，笔者早在上学期的不等式应用题中，就已经有所渗透，
详见《第11讲 巧设单位1，减轻利润类应用题中计算困难（再谈方案类问题）》例3,例4．
END
如
何
关
注