初中数学培优,几何专题之最全手拉手模型
手拉手是数学中最常见的一种几何图形。属于共端点几何模型的一种类别。在平时的考试之中,经常会遇到这样一类考题。
它是我们研究几何图形的基础。当然,对于手拉手模型结论的研究,我们这一节也会提供一些手段。比如旋转、全等都是我们的处理手段。
当然,说了那么多,我们来说下,什么是手拉手模型,我们看下什么样的图形叫做手拉手模型。
手拉手模型主要抓三个条件:
1:共顶点
2:等腰(等边,正方形等等,换句话讲共顶点的两边相等)
3:顶角相等
手拉手模型主要分为:“等边△+等边△”和“等腰△+等腰△”
类型一:等边△+等边△
前题条件:图中,B,C,D三点共线,有等边△ABC和等边△CDE.
(1)图中,B,C,D三点共线,有等边△ABC和等边△CDE.
我们可以得到以下一些结论:
结论一:△ACD≌△BCE
(2)记AC、BE交点为M,AD、CE交点为N:
结论二:△ACN≌△BCM;△MCE≌△NCD
(3)连接MN:
结论三:△MNC是等边三角形+MN//BC
(4)记AD、BE交点为P,连接PC:
因为△ACD≌△BCE
所以过点C作CG⊥BE,CH⊥AD ∴CG与CH分别是BE与AD边上的高
∵BE=AD ∴CG=CH 所以易知Rt△PGC≌Rt△PCH (HL)∴∠1=∠2
结论四:PC平分∠BPD
(5)∵∠CAD+∠CDA=∠ACB=60°
∴∠DBE+∠CDA=60° ∴∠BPD=120° 由(4)可知
∠BPC=∠CPD=60° ∴∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°.
结论五:∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°.
(6)连接AE:
结论六:P点是△ACE的费马点(PA+PC+PE值最小)
(7)因为∠APB=∠ACB=60°
所以可以得到:△AMP∽△BMC
同理可以得到以下几组相似三角形:
△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND
当然,我们也可以得到A、B、C、P四点共圆/P、C、D、E四点共圆
结论七:△AMP∽△BMC,
△AMB∽△MPC,△PNC∽△END,△PNE∽△CND
+A、B、C、P四点共圆和P、C、D、E四点共圆
(8) 如图,在PD上截取PF=PC, 由此可以知道△PCF为等边三角形
∴易证:△PCE≌△FCD
∴有PD=CP+PE
同理可得:BP=AP+PC
结论八:PD=CP+PE,BP=AP+PC
注意:当然前面都是在B、C、D共线的时候得出的结论。当B、C、D不共线的时候,只有MN//BC不成立
类型二:等腰△+等腰△
前题条件:等腰△ABC和等腰△CDE,点C是公共顶点,∠ACB=∠DCE=α,如图所示:
图(1),(2)这种位置关系可以的到△ADC≌△CBE,AD=BE
图(3)除了可以得到全等结论外,还可以得到:
(1)CH平分∠AHE
(2)A、B、H、C 四点共圆
(3)A、C、H、D、E四点共圆
图(1),(2)要得到类似结论需要延长AD,CE
现在讨论下α=90°的情况.
即,“等腰Rt△+等腰Rt△”的情况:
这里面有许多有趣的结论.
在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEC,如图,拍摄了几张静态的照片.
由图(1),(2),(3)可以得到: △ADC≌△BCE,以及AD与BE垂直,或它们延长线垂直.
图(3)可以得到几组相似三角形。其实和前面的结论一样。这里不多做赘述。
当然,上面的等腰直角三角形除了上面的结论之外,这里再补充一些结论。
如图,连接AE,BD。由于AD⊥BE,所以四边形ABDE为锤美四边形。
结论:(1)锤美四边形结论:AB平方+DE平方=BD平方+AE平方
(2)AF=BF+CF;EF=DF+CF
锤美四边形的结论就不证明了,主要是利用勾股定理进行证明,网上有很多。
分别取线段AE,BD的中点为点M,N
结论:(1)AE=2CN;BD=2MC;
(1) △ACE与△BCD的面积相等;
(2) MC⊥BD, CN⊥AE
证明:如图延长,CN于H,使得CN=NH
∴容易知道:AC=DH,CD=CE
∵∠ACE+∠BCD=180° ∠CBD+∠BCD+∠BDC=180° ∠CBD=∠BDH ,
∴∠CBD+∠CDB=∠BDH+∠CDB=∠CDH ∴∠CDH+∠BCD=180°
∴∠ACE=∠CDH ∴△ACE≌△CDH ∴CH=2CN=AE
同样的方法可以证明:△AGC≌△BCD ∴BD=2MC;
所以也容易知道△ACE与△BCD面积相等.
如图,延长MC与BD相交于点P, 易知∠ACM+∠BCP=90°,
∵∠ACM=∠CBP ∴∠CBP+∠BCP=90° ∴CP⊥BD ∴即MC⊥BD
同理可得:CN⊥AE
好啦,今天的分享就到这里。