中考数学压轴题分析：距离比值问题

本文内容选自2020年云南中考数学压轴题，题目涉及点的直线的距离5倍的关系。然后求坐标。遇到倍比的问题，常常考虑用相似或三角进行转化。大家仔细瞧瞧吧！

【中考真题】

（2020·云南）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．
（1）求、的值；
（2）设点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】

题（1）代入点坐标，求解解析式即可。

题（2）属于将军饮马问题，直接连接BC即可。

题（3）本题关键是先画图，然后确定两个点到BC的距离。根据5倍的关系，可以考虑用相似进行转化。

根据X字型相似，转化为PE与DE的比值即可。

【答案】解：（1）把、点的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，；
（2）直线与抛物线的对称轴交于点，连接，如图1，
此时，的值最小，
为定值，
此时的周长最小，
由（1）知，，，
抛物线的解析式为：，
对称轴为，
令，得，
解得，，或，
，
，
设直线的解析式为：，得
，
解得，，
直线的解析式为：，
当时，，
；

（3）设，，过作于，过作于，如图2，
则，，
，，
，，
，
，
，
（舍，或，
点的坐标为．
故存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍，其点坐标为．

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