概率趣谈二三事

概率和赌博

1651年夏天，法国数学家、物理学家帕斯卡在前往浦埃托镇的旅行途中，偶然遇到了梅累。梅累是一个贵族的公子哥儿，常常进出于赌博场中。为了消磨旅途的寂寞，他大谈“赌博经”，并提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题，向帕斯卡求教。

问题是这样的：

一次，梅累和赌友掷骰子，各押赌注32 个金币。梅累如果先掷出三次6点，或者赌友先掷出三次4点，就算赢了对方。

赌博进行了一段时间，梅累已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点。

这时候梅累接到通知，要他马上去陪同国王接见外宾，赌博只好中断了。

请问，两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？

赌友说，他要再碰上两次4点，或梅累要再碰上一次6点就算赢，所以他有权分得梅累的一半，即梅累分64个金币的2/3，自己分64个金币的1/3。

梅累争辩说，不对。即使下一次赌友掷出了4点，他还可以得1/2，即32个金币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，所以他应该分得64个金币的3/4，赌友只能分得64个金币的1/3。

两人到底谁说得对呢？

大家知道，帕斯卡是十七世纪有名的“神童”数学家。据说，他还是一个小孩子的时候，就独立地证明了“三角形内角和等于180”这个定理。16岁时发现了“帕斯卡六边形定理”，并写成论文，笛卡儿竟然怀疑是帕斯卡父亲的作品。

图1 帕斯卡

可是，梅累提出的“分赌注”的问题，却把这位 “神童”数学家难住了。他苦苦思考，不得要领。一直想了两三年，到1654年才算有了一点眉目，于是写信给他的好友费马，两人开展了热烈的讨论。讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的3/4，赌友应得64个金币的1/4（为什么？请读者用概率的知识算一算）。

这时有位荷兰的数学家惠更斯，在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年）这就是概率论的最早一部著作。

概率论现在已经成了数学里的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用。但溯本追源，它却产生于“赌博”，是所谓“赌徒之学”，所以有人说它 “来路不正”，颇有点“不光彩”呢！

概率和性别

一般人或许认为，生男生女的可能性是相等的，各占50％。事实并非如此。法国著名数学家拉普拉斯（1749—1827）在研究概率论的时候，得到了这方面的一些有趣的结果。

拉普拉斯是一位十分尊重科学事实的科学家。他关于天文学的巨著《天体力学》写好以后送给拿破仑看。拿破仑问他：“你这部关于宇宙体系的大书，为什么没有提到宇宙的创造者一一上帝呢？”拉普拉斯直截了当地回答说： “陛下，我不需要这种假设！”

图2 拉普拉斯

拉普拉斯在1814年出版的《概率的哲学探讨》一书中调查研究了生男生女的概率问题。他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出几乎完全一致的男婴出生数与女婴出生数的比值：在10年间总是摆动在51.2(%）：48.8(%）左右。这就是说，男婴出生数一般比女婴出生数略高。他又统计了巴黎40年（1745—1784）的有关资料，却得出了另一个比值51.02：48.98。

这一点微小的差异引起了他的注意：巴黎为什么与众不同呢？

他百思不得其解，于是想到，会不会是出于其它因素的影响呢？后来经过调查，发现巴黎附近地区“重女轻男”，有抛弃男婴的恶俗，以致歪曲了出生率的真相。经过修正之后，男女出生率仍然稳定在 51.2：48.8左右。

这份事实雄辩地说明，在纷纭杂乱的大量偶然现象背后，隐藏着必然的规律。这种由“频率稳定性”导出的“大数定律”，正是整个概率论的基础。

国内外大量的人口统计资料说明，男婴和女婴出生数的比率是51.2：43.8左右。我国几次人口普查的资料中，男婴与女婴出生数的比率也大致如此，1953年是51.2：48.8；1961年是51.3:48.7。

为什么男婴出生率要比女婴出生率略高一点呢？这是生理学上很有趣味的一个研究课题。生理学家认为，可能是男性含X染色体的精子（决定生女）与含Y染色体的精子（决定生男）有某种差别的缘故。

从概率观点来看，因为含X染色体的精子与含Y染色体的精子进入卵子的机会不完全相等，所以造成了男婴女婴出生率的不相等。而最先发现这个现象的不是生理学家，却是研究概率的数学家。

概率和π

1777年的一天，法国自然哲学家布丰（1707—1788）先生家里高朋满座，热闹非凡。宾客们来此并不是为了赴宴，而是等待着一次有趣的试验——布丰先生经常搞点有趣的试验给朋友们解闷。

图3 布丰

只见七十高龄的布丰先生兴致勃勃地拿出一张白纸，铺在桌子上。白纸上画满了一条条距离相等的平行线。然后，他抓出一大把小针，每根小针的长度都是平行线间距离的一半。

布丰说：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便扔吧，妙事自然会出现。”

客人们不知他葫芦里卖的什么药，好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。布丰在旁边不停地记着数。小针扔完了，把它收起来又扔。

最后，布丰宣布结果：大家共投针2212次，其中与直线相交的有704次。用704去除2212，得数为3. 142。

他笑了笑说：“这就是圆周率π的近似值。”

众宾客哗然，大家成了丈二的金刚——摸不着头脑：“圆周率π？这哪里和圆沾得上一点边呀？”

布丰先生好象看透了众人的心思，他斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑，这的确就是圆周率兀的近似值。你们看，连圆规也不要，就可以求出兀的值来。只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。”

图4 投针试验

布丰歇了歇气，接着说：“要讲道理嘛，并不神秘，根据的是或然率（概率）的原理。欲知详情，请看刚出版的拙作《或然算术试验》。”

（读者们当然很难找到布丰先生这篇著作了，不过，可以参看复旦大学编的《概率论》38页上的证明。）

这就是数学史上有名的“投针试验”。前面“概率和赌博”里讲的掷骰子，是古典概率的数学模型，这里讲的是几何概率的典型例子。

后来不少人根据布丰先生创造的方法计算π值，其中，以1901年意大利人拉查里尼投针3408次，相交1808次，求得了兀的6位准确小数3. 1415929为最佳结果。不过，对拉查里尼这个结果，一向非议颇多，有人说他是“碰上了好运气”，有人甚至怀疑他是在弄虚作假。到底如何，谁也没法调查落实。

随着电子计算机的发展，人们已经按照布丰的思路建立起一类很有用的新方法，叫做“蒙特卡洛方法”，广泛应用于科学技术领域。

概率怪论

概率论的发展很快，到十九世纪末已经在很多基础学科和工程技术上显露头角，人们对它的兴趣也越来越浓厚了。和微积分的情形相似，起初，概率论的一些最基本的概念还没有明确的定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格的理论基础，因此常常被人找到一些可钻的空子。

贝特兰（1822—1900）是法国著名的数学家，数论上有名的“贝特兰猜想”就是他提出来的。他写的朴学论著，很注意通俗化，常常是妙趣横生。

图5 贝特兰

在1889年出版的《概率的计算》这本书里，贝特兰提出了一个非常有趣的“概率怪论”。设圆内接等边三角形的边长为a。在圆上任作一弦，问其长度超过a的概率是多少？

解答一：概率等于1/3。

任取一弦AB过A点作圆的内接等边三角形（图33）。因为三角形内角A所对的弧，占整个圆周的1/3。显然，只有B点落在这段弧上时，AB弦的长度才能超过正三角形的边长a，所以这种弦的可能性（概率）是1/3。

解答二：概率等于1/2。

任取一弦AB，作垂直于AB的直径PQ。过P作等边三角形，交直径于N，并取OP的中点M(131）。容易证明QN= NO = OM = MP。我们知道，弦长与弦心距有关。一切与 PQ垂直的弦，如果通过MN线段的，其弦心距均小于ON，则该弦长度就大于等边三角形边长，故这种弦的可能性是1/2。

解答三：概率等于1/4。

任取一弦AB。作圆内接等边三角形的内切圆（图35），这个圆是大圆的同心圆，而且它的半径是大圆的1/2，它的面积是大圆的1/4。设M是弦AB的中点，显然，只有中点落在小圆内时，AB弦才能大于正三角形的边长。因此，这种弦的可能性是1/4。

这三种解答似乎都有道理，真是“公说公有理，婆说婆有理”，那么到底谁是对的呢？

细细推敲一下，三种解答的前提条件各不相同：第一种假设弦的端点在圆周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布。

原来是前提条件各不相同，怪不得弄出三种不同的答案来了。

由于出了这些毛病，数学家们注意了对概率基础理论的研究。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构，

图6 柯尔莫哥洛夫

明确定义了概率的各种基本概念，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年来概率论的迅速发展起了积极的作用。