2021巴西欧女奥代表队选拔考试 中文翻译

1.无穷实数列满足如下条件:
对任意.
对任意.
;
求的值;
求证: 存在无穷多个正整数, 使得

2.正整数满足. 求证: 为偶数.

3.锐角中, 为其外接圆. 为上不含点的的中点, 为的中点. 过作于. 求证: 的外接圆过线段中点.

4."女公爵"是一种特殊的象棋棋子, 根据其摆放方向, 她可以攻击自身所在的四个斜方向中的两个. 求最大的正整数, 使得我们可以在一个的棋盘中摆下个女公爵, 使得他们互相之间不能攻击.
注: 女公爵可以攻击棋盘外的方向, 即我们如果在棋盘的左上角摆上一个女公爵, 使其攻击左上和右上方向, 则该棋子实际上不攻击棋盘内的任意棋子.

5.集合满足, 对任意正整数, 定义集合, 则. 求证: 若, 则 .

6.平面边形(其中为顶点, 且对任意, 相邻, 与相邻)若满足以下条件, 就称它是"巴西的":
对任意., 线段长度为.
对任意,  .
注1: 该图形不一定是凸的,各边也可能相交.
注2: 各角按顺时针方向计.
(1)对"巴西的"五边形, 求线段的长度.
(2)对"巴西的"边形, 其中, 求线段的长度.

7.已知的内切圆与三边分别切于点. 在上有两点,满足   . 求证: 到直线的距离相等.

8.已知为正整数, 且为的幂. 求证: 有一个素因子大于.