面积计算（十一）

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如图，梯形ABCD上底长为10，下底长24，腰BC长16，过D做DE垂直于BC，DE=18，求梯形ABCD面积是多少？

这个题也很有意思。

事实上看见10,24，垂直，你能想到什么？

没错，勾股数。

3,4,5；5,12,13；7,24,25，诸如此类的数组，我们称为勾股数——即直角三角形边长的整数解。

我反复强调这样一个事：如果想把数学学的还过得去，那么不动脑筋狂刷题是可以做到的。如果想把数学学得很好，那么一定要有发散思维。

像这样的敏感性其实对于解决数学问题是非常重要的，看见有垂直条件，又有勾股数，所以想到是不是可以用直角三角形的性质是十分自然的事情。

当然，我们把题目中的条件和图形结合起来一看就会明白：勾股定理看来是用不上的。因为10,24这两条线段并没有垂直关系，所以我们就要考虑转换思路。

梯形的面积等于上底加下底乘以高除以2，现在就缺谁？高。所以计算梯形的高必然是一条思路。

注意：只是说是思路，没说是正确的思路。我们过A或者B往CD作垂线，哪条更合适？过B点这条垂线更合适。理由？BC长度知道，而AD未知。我们总是把已知的东西集中到同一个小区域内，这也是一个常用的办法。

假设我们过B作BF垂直于CD，要知道高，就要知道CF的长度，这个怎么求？

没办法求，因为要知道CF的长度，看起来最直接的办法就是求高，这不就是鸡生蛋蛋生鸡了么？

于是看起来又失败一次。

不要紧，做题目走弯路太正常了。既然直接求也不行，也没有勾股定理可以用，那么我们只能考虑切割梯形为三角形了，怎么切？

梯形切割成三角形最天然的想法就是连接对角线。我们不妨把AC和BD都连起来，这时候发现，△BCD的面积可以表示为1/2×18×16=144，于是我们只要求出△ABD的面积即可。如果注意到△BCD和△ABD的高相同，也就是说两个三角形面积之比就等于两条等高所对应的底之比，也就是12:5，我们得到了△ABD的面积为60，所以梯形的面积就等于204.

贼老师，你为什么总喜欢写那么多走弯路的情况？

因为走弯路是正常的，不走弯路要么题目太简单，要么这题目以前做过。很多孩子做的题目并不少，但是为什么效果不好？因为他们没有达到做一个题目有一个题目的效果。

正如在之前代数系列中讲过的，孩子普遍是畏难的，看见难题躲都来不及，因此反复练的都是自己已经熟练掌握的内容，不会的还是不会；另一方面，思路来得很慢，总是东一榔头西一棒子。以本题为例，我们从题设中的10和24联想到勾股数，然后又看见垂直关系以为肯定能用勾股定理，到快速排除这条路子转而求高，然后再把这个想法排除掉，转而把梯形分解成两个小三角形，这个过程是很值得玩味的。

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