为什么数学的用途这么大？

本文由萧福坤译自 Science Digest, August 1985，原文: http://210.60.224.4/ct/content/1986/00050197/0008.htm，[遇见]有少许修改，转载请注明。

我的父亲是一位物理学家，所以我从小耳濡目染，当他与同事讨论问题时，我坐在桌旁，「有耳无嘴」── 只有听的份。不过我发现物理学家说的似乎像另一种语言，和我们平日所用的不同。他们之间的谈话夹杂着类似：「角动量」、「虚粒子」和「光子」等等稀奇古怪的名词。想到其中可能含藏的许多深因奥理就让我敬畏如神明。

当年我并不知道其中的奥秘深几许。当我渐渐长大懂得发问时，我发现这些奇怪的名词并不是真正的物理语言的一部分，只是它的近似罢了。说真格的，宇宙穹苍的神妙化工并非常识所能掌握于万一，亦非语言可以描绘在纸上。后来我才晓得，要说明这葫芦里所卖的药，唯一的方法是「用数学的语言」。

在那个时候我已经明白「光子」是怎么一回事，那是想像中光线里最最微小的一丁点东西。有时候光子具有粒子的性质，有时候它又像波动，端视你如何看待它。当它以波的形式在宇宙中行进时，它并不是任何东西的波动，它仅仅就是一种波。假如它有一天一旦停止下来，光子将不具任何质量。但就是因为它永远以光速向前运动，它的的确确具有质量。像这样的道理当时使我不解。他们告诉我，原因是：我不懂数学。

光速也一直是令人极为困惑的现象。让我们想像两个光子从同一个灯泡中逸出，而且朝着正好相反的方向发射出去。请问：两个光子相互分开的速度为何？我的答案是：正合两倍光速。而正确答案是：根据一般相对论公式的计算只合一个光速，而相对论从没有做过错误的预测。

我一直都不免好奇要问，数学这种完全不是靠实验而来的学问，在描述这个森罗万象的大自然世界时居然是这么有用。例如，希腊的数学家是在纯粹的思考推演过程中发明了椭圆这个概念。这个概念完全是人想像出来的。后来有人才恍然大悟，原来星球是沿椭圆的路径在运行的，不过这已是两千年以后的事了。

这样的例子使一些物理学家也觉得好奇不已。1960 年，匈牙利流亡科学家尤金·维格纳（E.Wigner，以他在量子力学方面的研究赢得 1963 年诺贝尔物理奖），在「纯数学与应用数学对谈」（Communications on Pure and Applied Mathematics）刊物上发表了一篇题为《数学在自然科学中不可想像的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences），文中便说明了数学的奥妙。

根据维格纳的看法，物理学上一些最重要的观念，包括量子理论和引力定律，都归功于许多数学系统。这些数学观念甚至在毫无被人认为可资应用之前，便已发展成型。作者写道：“自然科学家们经常不得不承认一个数学模式会像奇迹似地与他们迎面相遇。”

他所引用的第一个例子是牛顿的引力定律，已说明一个自由落体（像苹果）的坠落和行星、人造卫星及其他天体的运行都是同一现象所表现出来的不同例子，都可以用一组方程式来说明。在这种情况下，数学家与物理学家是同一个人：前者发明微积分，后者应用微积分。（承继希腊的传统，牛顿还认为数学这种东西「太纯了」，纯得无法与真实世界拉上关系。他当年对自己的这番发现并没有毫无保留地感到快慰。）

当物理学家们注意到量子的力学结构和称之为矩阵理论的数学系统之间的相似性时，这两个学门之间相互呼应的情形再度发生。物理学家沿着这种相似性的线索作预测，而且这些预测都得到证实。

其他类似的意外发现时有所闻。美国能源分析研究所的波洛德（W. Pollard），在 1984 年十月的美国物理学刊（American Journal of Physics）一篇文章里指出：爱因斯坦的一般相对论公式是根据十九世纪时，黎曼（B.Riemann）的多维数学理论推演而来。另外，讨论物质基本建构的夸克理论，也是建立在挪威数学家李（S.Lie）所发展的一种代数结构上。这些代数结构的出现是在质子、中子概念出现之前好久好久的年代。

难道说这些都是巧合吗？无论维格纳，或者波洛德都不以为然。人类的头脑似乎拥有一种自发的能力，在他还没观看宇宙以前，就能够逐步推论出它的结构。这样的说法简直令人难以置信，而且也难以自圆其说，但是，可能就是支配着我们脑部组织内部原子的物理定律，正推动我们人类朝向认识它们的方向前进。正如维格纳说的（而且波洛德也重复过）：“数学语言像奇迹般地可以用来导引物理定律，我们既不了解也不配得这项上天所赐予的奇妙礼物。”不过，从小以来从餐桌上谈话中所体会的神秘感，好像一直都是我的内心良伴。

转自遇见数学