关于圆的几何证明难题解析,老师:掌握解题思路,助力数学中考

圆是初中几何的重要知识点,也是中考的难点,在复习迎考的最后一周,为了帮助大家解决这些必考难点问题,本文就例题详细讲解与圆相关的几何证明题的解题思路,希望能给大家带来帮助。

例题1

如图,⊙O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB.

(1)求证:EA是⊙O的切线;

(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似;

(3)已知AF=4,CF=2.在(2)条件下,求AE的长.

1、证明EA是⊙O的切线

连接DC

根据圆周角定理和题目中的条件:同弧所对的圆周角相等,圆弧BC所对的两个圆周角分别为∠BAC和∠BDC,则∠BAC=∠BDC。

根据题目中的条件和结论:∠EAB=∠ADB,∠BAC=∠BDC,∠EAC=∠EAB+∠BAC,∠ADC=∠ADB+∠BDC,则∠EAC=∠ADC。

根据圆周角定理和题目中的条件:直径所对的圆周角为直角,AC为⊙O的直径,则∠ADC=90°,∠ABC=90°。

根据结论:∠EAC=∠ADC,∠ADC=90°,则∠EAC=90°。

根据切线的判定定理、题目中的条件和结论: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,∠EAC=90°,点A在⊙O上,则EA是⊙O的切线。

2、求证△ABC与△AEF相似

连接BC

根据直角三角形斜边中线定理、题目中的条件和结论:∠EAC=90°,点B是EF的中点,则AB=BF=EF/2。

根据等腰三角形的性质和结论:等腰三角形的底角相等,AB=BF,则∠BAF=∠AFB。

根据结论:∠EAC=90°,∠CBA=90°,则∠EAC=∠CBA。

根据相似三角形的判定定理和结论:两组角分别相等的两个三角形相似,∠EAC=∠CBA,∠AFB=∠BAF,则△AEF∽△BCA。

3、求AE的长

根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△AEF∽△BCA,则AF/EF=AB/AC。

根据题目中的条件:AF=4,CF=2,AC=AF+CF,则AC=6。

根据题目中的结论:AB= EF/2,AC=6,AF=4,AF/EF=AB/AC,则EF=4√3。

根据勾股定理和结论:AE+AF=EF,EF=4√3,AF=4,则AE=√EF-AF=4√2。

例题2

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.

(1)求证:点D在⊙O上;

(2)求证:BC是⊙O的切线;

(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.

1、证明点D在⊙O上

连接OD

根据直角三角形斜边中线定理和题目中的条件:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,DE⊥AD,O是AE的中点,则OD=OA=OB=AE/2。

根据题目中的条件和结论:AE为⊙O的直径,OD=AE/2,则点D在⊙O上。

2、证明BC是⊙O的切线

根据等腰三角形的性质和结论:等腰三角形的底角相等,OD=OA,则∠OAD=∠ODA。

根据角平分线性质和题目中的条件:角平分线可以得到两个相等的角,AD为∠BAC的平分线,则∠OAD=∠CAD。

根据题目中的条件:∠C=90°,∠CAD+∠CDA+∠C=180°,则∠CAD+∠CDA=90°。

根据结论:∠OAD=∠CAD,∠OAD=∠ODA,则∠CAD =∠ODA。

根据结论:∠CAD+∠CDA=90°,∠CAD =∠ODA,则∠ODA+∠CDA=90°,即OD⊥BC。

根据切线的判定定理和结论:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,OD⊥BC,点D在⊙O上,则BC是⊙O的切线。

3、求△BDE的面积

过E点作EF⊥BD,交BD于点F

根据勾股定理和题目中的条件:AC+BC=AB,AC=6,BC=8,则AB=10。

设⊙O的半径为r

根据题目中的条件:OA+OB=AB,OA=r,AB=10,则OB=AB-OA=10-r。

根据相似三角形的判定和结论:∠ACD =∠ODB,∠B =∠B,则△BOD∽△BAC。

根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△BOD∽△BAC,则OB/OD=AB/AC。

根据题目中的条件和结论:OB/OD=AB/AC,AC=6,AB=10,OD=r,OB=10-r,则(10-r)/r=10/6,即r=15/4。

根据题目中的条件:OB=10-r,r=15/4,则OB=25/4。

根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△BOD∽△BAC,则BD/OD=BC/AC。

根据题目中的条件和结论:BD/OB=BC/AB,OB=25/4,AB=10,BC=8,则BD=5。

根据题目中的条件:EF⊥BD,则∠EFB=90°。

根据相似三角形的判定和结论:∠EFB =∠C,∠B =∠B,则△EFB∽△ACB。

根据相似三角形的性质和结论:相似三角形的对应边成比例,△EFB∽△ACB,则EF/BE=AC/AB。

根据题目中的条件:BE=BO-OE,OB=25/4,OE=15/4,则BE=5/2。

根据结论:EF/BE=AC/AB,BE=5/2,AC=6,AB=10,则EF=3/2。

根据三角形面积的计算公式和结论:S△BDE=BD*EF/2,EF=3/2,BD=5,则S△BDE=15/4。

结语

关于圆的几何证明题,需要用到圆及其他几何图形的性质、定理,因为涉及的知识面较广,是有较大难度的一类题型。同学们在解决这样的难题时,在认真审题的基础上,需要理清圆及相关几何图形的性质、定理,尤其是要灵活运用相似三角形、直角三角形、等腰三角形的性质、定理进行证明计算。只要考生们按部就班地分析解题,就能成功应对这类题型,为数学中考取得高分助力加油!

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