【中考压轴】函数图象与角系列代几综合（一）

函数图象与角系列（1）

（2017·深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=2/3S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

【图文解析】

（1）简析：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，得到关于a、b的方程组，解之即可. 本小题答案为： 抛物线解析式为y=﹣1/2x2+3/2x+2.
（2）由S△ABC=2/3S△ABD，可得到S△ABC：S△ABD=OC：|yD|=2：3，由C（0，2）得OC=2，所以|yD|=3.
当yD =3时，由﹣1/2x2+3/2x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当yD =﹣3时，由﹣1/2x2+3/2x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知，存在满足条件的点D，分别为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；各种情形的图如下示。
（3）要求线段BE的长，必须先求出E点坐标，求出直线BE的解析式，然后联立直线与抛物线的解析式，即可得到E点的坐标.
首先，由A(－1，0)、B（4，0）、C（0，2），根据勾股定理的逆定理或相似，不难证得△ABC为直角三角形。如下图示：
法一　由∠ACB＝900和题意中的“旋转450”容易联想到“等腰直角三角形”，因此可构造如下图示的等腰Rt△.
此时△ABF可解。不难求出F点坐标，如下图示：
分别在Rt△AOC和Rt△AFG中，由cosA=AG/AF=OA/AC可得：
由B（4，0）和 F（2，6）不难得到直线BE为y=﹣3x+12.
联立直线BE和抛物线解析式可得：
得到E（5，－3）.再由勾股定理，可得到BE的长为根号10.
法二，利用对称，可得到等腰直角三角形，如下图示：
法三，如下图示，转化为“一线三等角”就有更多种的解法了。
进一步地，
此种解法较多，再举二种：
法四，构造辅助圆，如下图示，
法五：旋转法
本题还有很多种解法，不一一列出
【反思】有关45°的角的相关试题均可以通过构造“一线三等角”、构造直角、构造矩形、构造辅助圆，可通过平移、对称、旋转、相似、建系等方法转化为“解三角形”来解决，均有很多种解法。
2．抛物线与特殊角
（2017·南通）已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值．
（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．
（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．
【图文解析】
未完待续
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