数学教学中的理解之我见
在数学教学中要避免“理解的要执行，不理解的也要执行”。《红与黑》的作者马利-亨利·贝尔（笔名司汤达）曾经因为老师未让他理解“负负得正”而在多年后还“耿耿于怀”，这说明教师让学生理解数学多么重要！数学教学中的理解有其特殊性，教师要把握这种特殊性，在数学教学中，自觉创造适合学生的理解。
一、
学生对数学的理解是有差异的
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）提出了使“不同的人在数学上得到不同发展”的课程基本理念，这实际上就是承认学生在数学学习上是有差异的。对数学学习来说，如果认为“没有教不好的学生，只有不会教的老师”，那么这种人肯定是数学和数学教学的外行。
正是因为公开承认学生在数学上的差异，《课标》给出了选学内容，并且明确指出选学内容不列入中考要求。教材呈现也遵循学生认知发展的规律，切合学生学习数学的心理过程，遵循学生学习数学的规律，密切联系学生的生活经验设计内容的呈现形式和编排方式，使之生动、新颖、活泼，增强对学生的吸引力。提炼和精选学生全面发展和终身发展必备的、最基本的知识内容，做到容量适当，难易适度。在每一章和每一节的内容安排上注意由实例引入，做到从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂、从知识到能力逐步展开，循序渐进。
对数学的理解只存在一种正确的理解，不存在外行人的理解方法。所以没有人能够写出关于数学最新成果的通俗读物。人们对初中数学教材中某些概念的理解也经历了漫长的过程，像数“0”、负数、无理数等概念，历史上有些著名的数学家在一开始也不接受。所以，在数学学习过程中，我们的学生对某些概念一时不能正确理解是很正常的。但一时不能正确理解不等于不理解。对这些概念的理解应因人而异，创造适合不同水平学生的理解方法，并应根据每个学生的理解情况，采取循序渐进的理解方式，引导学生逐步加深对这些概念的理解。
二、
会证明不等于理解
我们也许认为，对数学定理只要为学生给出证明，学生就能理解。其实不然，理解和证明往往并不是一回事。尽管我们可以用自然数公理证明2＋3＝5，但我们不会对学生给出证明，学生一般也不会对老师提出证明它的要求。学生之所以能够理解2＋3＝5，是因为学生从感觉上把握了这一数学事实，而不是通过证明。对定理我们之所以要给出证明，从根本上说，不是要求学生会写出证明，而是通过探索定理的证明过程，引导学生从感觉上把握定理所要表达的数学事实，从而加深对定理的理解。
“三角形的内角和等于180°”是《几何原本》第1卷的命题32，欧几里得对此给出了证明。尽管如此，对这个结论，没有人有强烈的直觉说它是对的。甚至据说大数学家高斯在19世纪早期曾试图以实验方法检验这一结论。在教学过程中，我们通过把三角形的三个内角剪下来然后拼在一起的方法引导学生发现这一结论，也是为了强化学生对这一结论的直觉。我们知道，四色定理——“要为平面里的任何地图着色，只需要四种颜色就已足够”的证明需要使用计算机，它的证明是第一个无人能解读其完整证明的定理。证明的一部分需要非常多案例的分析，使得没有人能搞懂它们的全部。无奈，数学家只能以确认检查所有这些案例的计算机程序来满足自己。在这里，证明这一定理和理解它似乎没有关系！
我们可以利用乘法法则推出（证明），大部分学生都可以完成推导。但在具体运用公式的过程中，
这是因为学生尽管会推导，但可能并没有建立对该公式的直观感觉。因此，在推导出公式后，我们还需要利用下图给学生进行解释，以让学生建立对该公式的直觉。
让学生通过计算和比较认识到自己的错误。但这样做仅仅是为了纠正学生的计算错误，并不一定有助于学生对完全平方公式的理解。
对“负负得正”，可以用如下两种理解方式：
方式一：用学生可以直观感知的生活实例解释。
假设小明每天都会花10元买零食。从现在起他的父母不再给他零花钱，那么他的存款每天都会减少10元。过去1天少10元，过去2天就少20元。过去n天，就是减少10n元，表示为－10n。如果n＝－1，即昨天比今天要多10元，即(－10)×(－1)＝10。前天就是n＝－2，比今天要多20元，即(－10)×(－2)＝20。由此可得“负负得正”。
方式二：用运算律推出“负负得正”。
我们有10＋(－10) ＝0，在等式的两边同乘以(－1)得
[10＋(－10) ]×(－1)＝0。
根据分配律得
10×(－1)＋(－10) ×(－1) ＝0。
由于
10×(－1) ＝10×(1－2) ＝10×1－10×2＝－10，
所以
－10＋(－10) ×(－1) ＝0。
两边同加上10得
(－10) ×(－1) ＝10。
这两种方式哪种方式好呢？当然是方式一，因为证明不等于理解！
三、
会计算不等于理解
在数学学习中，有许多知识一时无法做到真正理解，有理数的运算法则就是其中之一。有理数加法法则是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。在讲授有理数加法时，教师如果一上来就给出法则，然后要求学生运用法则进行操练，这样就完全偏离了数学的本质，把数学变成了按部就班的程序化的东西，使数学学习变成了对机械程序的记忆、模仿和操练，从而就不是在教数学。有理数加法法则实际上把加法运算归纳为两步：首先确定和的符号，然后确定和的绝对值。它是为了提高学生的运算速度和准确性而对运算技巧的归纳，应该是在学生对有理数加法法则进行了合理理解后，教师引导学生所作的概括。当然，仅仅让学生“依葫芦画瓢”，不管懂不懂，只要按照运算法则操作就是了，这样做也可以保证运算结果的正确。但这不是正确学习数学的方法，这样学习数学也是走不远的。
根据加法交换律，可以得出2＋3＝3＋2。但在这里不是指2和3这两个数可以交换，而是指加2和加3这两种运算可以交换。给学生强化运算交换，不仅有助于学生理解交换律的本质，也会对学生以后的学习带来帮助。
解方程x+4=6，只要将+4从左边移到右边（移项），就可得到x=6－4，即x=2。这里要让学生明白：将+4从左边移到右边（移项），实际上是根据等式的性质，将方程的两边都减去4。如果仅仅要求学生“依葫芦画瓢”，就会导致学生知其然而不知其所以然。在初学解方程时，应该要求学生指出每个步骤的数学依据。
在有理数的运算中使用计算器，或更一般地说，仅仅利用计算器进行数的运算，并不是教学中必须的。用计算器进行计算，对于信息时代的原居民——学生来说，并不需要老师教。连小商小贩都操作自如的技能还怕我们的学生长大后不会？但是，一旦延误了计算技能的培养阶段，就无法再补救。有理数运算的基本教学目标是：让学生通过实际运算，逐步理解算理，提高运算技能。这种目标通过操作计算器是达不到的。
四、
数学基础不等于教学基础
“新数运动”最根本的问题就是把数学的基础误认为数学教育的基础，所以要求学生学习现代数学的基础内容。基础教育阶段的数学学习必须考虑学生的认知水平，不可能做到形式化。数学教学中的理解不是按数学本身的逻辑顺序进行，而是主要依据学生的可接受能力循序渐进地进行的。
对于平面几何的学习，教材并不是像《几何原本》一样从点、线、面开始，而是从认识立体图形开始。学生生活在三维空间中，他看到的是三维物体，从三维物体到立体图形，再到平面图形和点、线、面，符合学生认识几何图形的实际和学生的认知特点。点、线、面是看不到的，它们是更抽象的概念。
尽管从逻辑上讲，概率是统计的基础，但课标和教材却是把统计放在概率前面。在基础教育阶段统计比概率更重要，发展学生的数据分析观念是本阶段的核心目标。第一学段（1～3年级）不学概率；第二学段（4～6年级）称为“随机事件发生的可能性”；第三学段（7～9年级）称为“事件的概率”。
极限是微积分的基础，也是学生学习微积分的“拦路虎”，以致有人调侃说：“为什么高数差，因为我刚学第一章就到极限了。”因此，根据高中生的认知水平，高中的导数概念对极限进行了淡化。
五、
理解需要记忆和模仿
在学习过程中也不能一味强调理解，否则，就会丧失学习某些知识的时机。譬如母亲在教幼儿语言时会多次重复相同的词语，教幼儿模仿大人的发音，如果这时还讲什么理解的话就麻烦了。而类似这种机械训练在一个人的成长过程中也是必不可少的。
我们当然不能把机械记忆作为数学教学的目标，尤其要避免考查机械记忆。但由此认为数学学习完全不需要记忆，也是武断的。在数学学习中，有些数学名词、符号、书写规则等，就需要记忆；为了给数学探究留出更多的时间，一些基本概念、法则、公式等，也需要在理解的基础上熟练地记忆。“熟读唐诗三百首，不会吟诗也会吟”是古人学习写诗的经验之谈，这说明记忆也可以通向理解。在数学学习中，对有些数学知识也需要“倒背如流”，如乘法口诀。对一些运算法则，能够理解的要操练，一时不能理解的也要操练，在操练中慢慢理解。
英国数学学习心理学家斯根普（R.Skemp）把理解分成两种：工具性理解和关系性理解。工具性理解就是“只知是什么，不知为什么”；关系性理解就是“不仅知道是什么，而且也知道为什么”。我们通常所说的理解，往往是指关系性理解，而忽视工具性理解。但工具性理解也是一种理解，而且在数学学习中，只需要“工具性理解”的知识还不少。例如，为什么自然数从0开始；为什么π是无理数；等等。