数学方法 | 反例（“数学思想方法导引”第34讲/共36讲）

 第34讲 摘要：所谓反例，指的是符合某个命题的条件，但不符合该问题结论的例子。数学中的反例，一般是指建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上并具有一定否定作用的例子。举反例是一种特殊的证明方式，它证明“某命题”不成立为真，一般来说，对于一个假命题，可以构造出不同的反例，实际应用中只构造出一个反例即可。

数学家盖尔鲍姆指出:“数学由证明和反例两大类构成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例”。反例有助于发现原有某些数学理论的局限性，当人们对数学理论理解存在某些偏差时，反例能够促进数学新概念、新方法、新理论的形成，反例的运用也会提高对数学的运用、构造的能力。如果要否定一个数学命题的成立，只要能举出一个说明其错误的反例就可以，这个过程叫构造反例。

反例构造的分类有基本形式的反例，有关于充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例，有条件变化型反例，有反例在数学的发展、学习和研究中发挥着不可取代的作用。

构造反例的常用方法是选择特殊状态构造反例还有依据性质分析构造反例。所谓选择特殊状态构造反例，就是选择一个特殊的例子，即选择一种或极端的状况来构造反例，从而对整个结论给出否定的证明。极端化也是一种选择特殊状态构造反例。所谓极端化，即将问题退到极端情形，考察极端元素或临界位置，往往能找到对解决问题有用的奠基因素以实现解题方法的过渡，故意“极端化”就是在解题“操作”时使问题呈现“极端”形态，“退”到另一种情境，从而“改善”问题的背景，便于认识和解决问题，最后将问题的“极端情形”在想象的“微小变动”中“极限化”，回到原来的情形。性质分析构造法是指对命题存在的性质进行分析，并由此构造出一种反例的方法。类比法构造反例，也是依据性质构造反例的一种。类比法构造反例是指利用已有反例的特征及思维方式，运用类比的方式在新的范围、条件下构造出反例，这种方法有时可以很快地构造出反例来。

反例是十分简明的否定, 也是极有说服力的肯定，反例的作用不仅用以否定命题而且也是发现数学真理的一种重要手段。反例在数学中的应用，可以加深概念理解，澄清模糊认识，把握数学原理，探索解题思路，优化解题过程。在实际数学问题的解决过程中，构造反例有两条路径，一是选择特殊状态构造反例，二是依据性质分析构造反例。

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