修订版【用几何来求导】- 微积分的本质 03

来自3Blue1Brown《微积分的本质》视频:https://space.bilibili.com/88461692

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[遇见数学]根据视频内容整理文字版, 方便各位同学学习, 先来看下视频吧.

我们在上个视频里了解到导数的意义, 以及和变化率的关系. 下一步就是学习如何计算它们. 比如我会给你们一个由特定表达式表示出的函数, 而你则需要求出用来表示它的导数的表达式.

还有一个需要注意的是, 为什么一个大学生在大部分时间内都要纠结于抽象函数的导数, 而不是考虑实实在在的变化率问题.

这是因为许多现实世界中的现象, 许多我们想用微积分来分析的实际问题, 都需要用到多项式, 三角函数, 指数函数或其它纯函数来描述.

因此假如你能够熟练掌握这些抽象函数的变化率的思想, 那么你就学到来这门可以准确地描述事物变化率的语言, 并能在任何你需要微积分来模拟的实际问题中使用它.

这两个视频中我想要告诉你如何既可视化又直观地考虑这其中的一些公式, 并且请你要牢记: 微小变化量才是导数的本质.

我们从一个简单的函数 x2x2 开始, 假如 x=2x=2 在增量 dxdx 的时候, 那么函数值的相应变化 dfdf 是多少? 确切的说, dfdxdfdx 是多少?

作为可视化的一种尝试, 我们知道 dfdxdfdx 可以被想象成是 x2x2 图像的切线斜率.

可以看出, 这个斜率会随着 x 不断增加, 在 0 处时, 切线时平的, 所以斜率是 0 . 在 x=1x=1 处, 它就稍稍更为陡峭. 在 x=2x=2 处, 它还会更陡峭一些. 但是盯着图像看，还不足以让我们搞清楚导数的精确公式. 所以接下来让我们看看 x2x2 更直接的一个含义.

简单的说, 什么看看一个边长为 x 的正方形. 假如我们的x一个微小的增量 dxdx , 方形面积的增加量是什么?

如图所示, 这个面积里多出了三个部分, 两个细的长方形和一个小的正方形, 这两个细的长方形的边长分别是 x 和 dxdx , 所以它们组成了 2xdx2xdx 的新面积. 比如说, x=3x=3 , dx=0.01dx=0.01, 这些长条组成的新面积就是 2∗3∗0.01=0.062∗3∗0.01=0.06 , 即 dxdx 的 6 倍.

小正方形的面积是 (dx)2(dx)2, 但是你应该把它想成非常非常小, 小到可以忽略. 比如说, 如果 dx=0.01dx=0.01, 那么它就只有 0.00010.0001. 欢迎你可以忽略掉任何高于一次的 dxdx 项.

换言之, 那微小变化量的平方就是一个小到可以忽略的变化量, 最终得到的结果就是 dfdf 等于 dxdx 的多少多少倍.

假如从 x=5x=5 出发, 变化率就会是 10 .

接着, 那是另外一个简单函数 f(x)=x3x3 , 我们可以直接把 x3x3 视为棱长为 x 立方体体积.

我们在 x 上增加一个微小的量 dxdx , 体积增加量就是图中黄色的部分, 接下来, 最好把这个新的体积分成许多部分来看待, 主要由这三部分来组成. 当 dxdx 趋于 0 时, 这三个正方形部分在黄色体积中所占的比例将会越来越趋向于 100%.

每个扁的方块儿的体积都是 x2x2dxdx , 所以总的来说, 体积的变化量就是 3x23x2dxdx. 除此之外, 当然的确还有棱上和顶角上的一些小块体积, 可是他们的体积都是 (dx)2(dx)2 或者 (dx)3(dx)3 的倍数, 所以可以忽略掉.

上式等式两边除以 dxdx

而假如等式右边还带有 dxdx , 那么这些项的大小也会在 dxdx 趋于 0 时完全消失, 所以 x3x3的导数, 即 x 每单位增加量引起的 x3x3的变化率, 等于 3∗x23∗x2

从图像的角度来说, 这就意味着在每个点 x 处的 x3x3图像斜率正好就是 3x23x2

大致计算一下这个斜率的话, 不难意识到这导数在左侧应该很高, 在原点处等于 0, 在右侧也很高. 只是从图像考虑的话, 并不足以让我们准确的得出 3x23x2 这个结果. 我们就需要更加直观的观察 x3x3 的实际意义.

在实际中, 你并不需要在每一次求 x2x2 导数时都要想象一个正方形, 也不需要在求 x3x3 导数时考虑一个立方体... , 这些都遵循一个关于幂函数的明显规律.

让我们稍微花点时间思考一下为什么它也适用于 2 和 3 以外的指数, 将 (x+dx)2(x+dx)2 展开, 就清楚函数的增量几乎都来源于 nxn−1nxn−1dxdx 这一项.

上面的推导过程能够锻炼我们借助微小变化量来考虑导数的重要能力. 再比如说, 来看下函数 f(x)= 1x1x.

一方面，可以简单粗暴地尝试应用幂函数求导公式, 或者看看能不能从几何的角度思考.

或者再思考能否求出 √xx 的导数值是什么呢?

最后让我们来多了解三角函数 - 正弦函数的导数情况. 现在假设已经很熟悉如何用单位圆, 即原点在圆心, 半径为 1 的圆来考虑三角函数了.

对于 θ=0.8θ=0.8 , 可以想象成从右边的点开始, 在圆上行走, 直到你已经走完了长度为 0.8 的弧长, 就等于在讲, 这个角度正好是 θθ 弧度. 因为圆的半径是 1 , 于是 sin(θ)sin(θ) 就是这一点距离 x 轴的高度.

所以当 θθ 增大的时候, sin(θ)sin(θ) 关于 θθ 的图像就是这样一条波浪线, 最最经典的波浪线.

从正弦函数的图像中我们大致知道正弦函数导函数的形状

想要对导数有一个更准确的认识, 需要看函数的真实含义, 而不是看图像的图像. 考虑再圆周上的一个微小增量 dθdθ, 借助两个相似三角形可以求得 θdsindθθdsindθ就等于 cos(θθ).

所以我们现在有了两种很棒的方式来考虑为什么正弦的导数是余弦, 一种是看正弦函数的图像, 并通过考虑每一点上图像的斜率来大致感知到导函数的图像形状; 另一种是通过直接看单位圆, 来进行更加严密的推导. 你也可以考虑 cos(θθ) 函数的导数.

在下期的视频中, 会讲到由这些简单函数结合起来的函数的导数求法. 比如函数求和, 函数乘积, 复合函数等等, 这个视频类似，我们会尝试从几何的角度来理解每个公式, 并让它们变得直观, 而且更好记忆.

查看之前发布《图解高数系列》

编辑 | 李想

制作 | 公理