从高中数列讲起——级数科普 Chapter 1

作者介绍: 毛线团君

[遇见数学] 翻译组视频 PM，双鸭山数学学院某肥宅，梦想是无戒口地吃，无限时地睡，无止境地学。_(:3」∠)_

从高中数列讲起

这是第一讲。我们来简单谈谈高中数列和大学级数。

假设

, 其中

为非零自然数。那么

就是一个一一对应的映射，我们可以把它理解为一个定义域为非零自然数的函数。

我能够写出一系列的数:

我们把这个叫做数列 {

}，把

叫做数列

的通项公式。数列可以是有限的，也可以是无限的。这一系列数列既可以是写得出通项公式的，也可以是写不出通项公式的。甚至我还可以蛇皮走位，奇数项和偶数项拥有不同的通项公式，或者奇数项偶数项的其中之一写不出通项公式。

总而言之，数列的每一项都可以是任何你能想到的实数。无论是有规律的

，还是没有规律的随手乱写一串数字，都可以是数列。在初等数学中（高中课本上）的数列，大多以等差数列与等比数列以及他俩的各种无所不用脑洞大开的组合的形式出现。

数列在编程中有各种各样的应用，它在 C++  中叫做数组，而在 Python 中叫做列表。我们可以用random函数写出一串随机数当做我们的数列，我们也可以用循环语句给数列赋上一串有规律的值。但我们今天想要谈的是数学中的数列。

如果说所有的数列的集合是全集，那我们今天瞩目的就是它的一个子集——无限且有通项公式的数列，且数列的每一项都大于 0。

但是这篇文章中我们想要讨论高等数学中的有关数列的概念。但是这里我想求大家不要看到高等数学四个字就急着退出，我们的目的是，让对数列有基本了解的高中生能看懂并思考他们的意义。下面是官方定义，学过高数数项级数的可以复习一遍，没学过的直接跳过也可以。

级数是指将数列的项

,

,

,…,

,…依次用加号连接起来的函数，是数项级数的简称。如:

+

+

+

+…..+

，简写为:

其中

称为级数的通项，记

并称之为级数的部分和。如果当

时 ，数列

有极限, 极限为

，则说级数收敛，并以

为其和，记为

否则就说级数发散。

也就是说我们这里不像高中一样哭着闹着要用递推公式求数列通项公式了（注：高中数列最常见考点，其中递推公式指的是

, 通项公式是

。我们更加关注数列的求和。

客官别急着走！这个真的不是陌生的概念！你记不记得你上小学的时候就求过等差数列的前 n 项和？ 这里只是把前 n 项和 起了个很厉害的名字叫做部分和

而已。也许有同学会想起高考的一个著名套路：错位相减法。对，你最后求出来的

或者

,其实都是我们说的部分和。

另一个很厉害的概念叫做级数收敛/发散。我们来看一个例子。级数{

}，其中

这是该级数的图形:

也就是

,

,

,

…我们用高中的等比数列求和公式可以很容易地得出部分和：


下图为前 20 项部分和图形:


写出来就是

,

,

,

,……不要看到数字就头晕，仔细看看。有没有想到《庄子》中非常著名的一句话？一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺的木 棍,每天弄断一 半, 永远都弄不完。这个部分和一直在向1靠近，无限近，但是始终无法达到 1。这就是上面叙述的极限的概念。也就是说，级数{

}收敛。

有一个更难一点的例子，记不记得高中错位相减法的大题经常会让你证明数列{

}部分和

（其中m为某个给定实数）？然后最后算出来

，

随

的增大而递减最后趋向 0。如果出现这样的情况的话，我们说级数

是收敛的。

那什么级数不收敛会是什么情况呢？非常简单粗暴地，你看如果

的话，部分和

就是 -1,0,-1,0, 没有一个固定的数，使得

无限接近这个数，当然就不收敛了。

到这里你可能会觉得很抽象，因为你可能还是不知道研究部分和的极限有什么用。因为研究通项公式可以做题啊，但是你对于级数收敛可以出什么题目，要如何应用，感到一无所知。好吧，其实题目就是给出通项公式，让你判断级数是否收敛。但是这篇文章并不想用来默写数分书或者高数书上的概念和做题套路，所以我并不能教你们怎么级数收敛判别题。

再给一个级数收敛的有趣例子。

级数收敛的一个最有名的例子叫做芝诺悖论(Zeno's Paradox)。对，没错，我要说的就是物理学四大神兽之一的芝诺乌龟。

公元前 464 年，物理帝国的世纪运动竞技开幕，芝诺之龟与海神之子阿喀琉斯赛跑。阿喀琉斯体格健壮，肌肉饱满，四肢遒劲有力。芝诺之龟短小精悍，豆眼如炬，龟甲结实笨重。芝诺之龟以身体劣势为由，申请提前奔跑 90 米。阿喀琉斯深知自己的速度乃是芝诺之龟的十倍，便毫不犹豫地答应了。

比赛开始，当阿喀琉斯追到 90 米时，乌龟已经向前爬了 9 米；阿喀琉斯继续追，而当他追完乌龟爬的 9 米时，乌龟又已经向前爬了 0.9 米；阿喀琉斯只能再追向前面的 0.9 米，可乌龟又已经向前爬了 0.09 米；就这样，芝诺之龟总能与阿喀琉斯保持一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！

这个问题困扰了许多哲学家几百年的时间。但是这其实是一个简单的级数收敛问题。你看，阿喀琉斯每一段奔跑的距离，90,9,0.9, 0.09… 这个级数，应该能够非常容易地看出来它收敛到100。也就是说这个故事中，就算有无限小段，他们都是被人为限制在100米的范围内。所以他们的结论中, 阿喀琉斯追不上乌龟是有一个范围的，正确的结论应该是阿喀琉斯在100米内追不上乌龟。

阿喀琉斯跑100米时，乌龟爬了 10 米，他刚好能追上乌龟。这看似跟结论存在一个非常明显的矛盾。但是你现在是一个知道级数收敛的人了，你就知道，阿喀琉斯在 100米内本来就追不上乌龟啊！这一点都不矛盾。(第一部完)