模型 | 正方形背景下半角模型的10大结论（优选）

半角模型——正方形

模型特点

半角模型定义

我们把等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型我们称为半角模型.

半角模型特征

a.两个角是一半的关系.

b.两个角有公共顶点.

c.大角的两边相等.

解题思路

将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,

证明与半角形成的三角形全等,

通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题.

主题干

正方形中的半角模型

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º.

结论1.BE＋DF＝EF.

将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG,使得AD与AB重合.

通过证明△AEF≌△AEG（AAS）可得BE＋DF＝EF.

结论2.AE平分∠BEF，AF平分∠DFE

将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；

将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.

∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，

∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；

∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，

∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，

即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.

结论3.S_△ABE+S_△ADF=S_△AEF

通过证明△AEF≌△AEG即可

结论4.过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.

结合结论2（∠AEB=∠AEH），

通过证明△ABE≌△AHE(AAS)即可.

结论5.△ECF周长=2AB.

通过证明△ABE≌△AHE，可得BE=EH.

通过证明△AHF≌△ADF，可得HF=DF.

△ECF周长=EC+CF+EF

=EC+CF+(EH+HF)

=EC+CF+(BE+DF)=2AB

结论6.BM²+DN²=MN².

辅助线如下图，

将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.

通过证明△AMN≌△AMG(SAS)

得MG＝MN，DN＝BG，

∠GBM＝∠GBA+∠MBA=45°+45°=90°，

在△FBM中由勾股定理，可得：

BM²+GB²=MN²

即：             BM²+DN²=MN²

结论7.△BME～△DFN～△AMN～△BAN～△DMA～△AFE.

通过证明角相等即可得到三角形相似.

结论8.EF=√2MN.

辅助线如下图，

连接AC，

∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，

∴△ECA～△NDA.

又∵△AMN～△AFE

结论9.AB²=BN·DM.

由△DAM～△BNA可得：

AB∶DM=BN∶AD

即：AB²=BN·DM

结论10.CE·CF=2BE·DF.

设DF=a,BE=b,AB=c.

在RT△CEF中，由勾股定理得：

（a+b）²=（c-a）²+（c-b）²

整理得：       2ab=（c-a）·（c-b）

即：              CE·CF=2BE·DF.

练一练

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