中考数学压轴题分析：菱形半角模型问题

本文内容选自2021年丽水中考数学压轴题，菱形的半角模型与等腰三角形的分类讨论。难度中等，但是模型比较经典，值得学习。

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【中考真题】

（2021·丽水）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）当，时，
①求证：；
②连结，，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形．

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【分析】

（1）①证明全等即可；

②由①的结论可以得到EF与BD平行，根据比例关系，可以求出边长的比例关系，进而得到面积比。需要综合相似与面积公式等。难度不大。

（2）本题是典型的半角模型，优先考虑全等。本题涉及等腰三角形存在性的讨论，需要分3种情况讨论：AM=AN；AM=MN；AN=MN。

根据每种情况，再画图，根据全等或相似进行求解。
【答案】（1）①证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
②解：连接，如图1所示：

四边形是菱形，
，，
由①知，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
是等腰三角形有三种情况：
①当时，如图2所示：

，，，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图3所示：

则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
③当时，如图4所示：

则，
，
，
，
，
，
；
综上所述，当为或2或时，是等腰三角形．