中考数学压轴题分析：梯形中位线

本文内容选自2021年广东省中考数学压轴题，题目涉及梯形的中位线，难度不大，但图形比较典型，是大家常见的模型．

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【中考真题】

（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

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【分析】

（1）易得∠A与∠D互补，进而得到∠AFB+∠DFC=90°，则结论得证．
（2）本题实质考查梯形的中位线，只需得到AD的一半等于AD中点到BC的距离（中位线的长度）即可．当然，证明过程可以构造三角形的中位线进行解决．
（3）根据特殊角的三角函数等可以得到BC的长，进而把△ADE的面积转化为EF与BC乘积的一半即可．

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【答案】

解：（1）∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠AEF+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；

（2）如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位线，
∴OH（AB+CD），
∵AB＝AF，CD＝DF，
∴OH（AF+DF）AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE2，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF·tan30°，
∴AN，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
EF·ANEF·DM
EF（AN+DM）
2×（2）
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