数学王子高斯的素数定理与大自然所投掷的“素数骰子”

英文: plus.maths.org/content/prime-number-lottery, 翻译: 行可爱   校对:曾麟程. ★提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常.

▌横向思维者
数学家具有很强的横向思维能力。普林斯顿大学教授Enrico Bombieri认为，假如遇到了不可逾越的障碍：“当问题难以解决时，合理的做法通常是停下来问问自己：我的问题是可解的吗？”

最先开始尝试改变问题的是一个十五岁的男孩，卡尔·弗里德里希·高斯。十九世纪初，由于一颗小行星，高斯一夜间成为了科学界的新星。这个世纪的开始伴随着一个新星球的发现，人们幸运地发现了位于火星和木星之间的一颗行星，并将它命名为谷神星。它的路径被连续追踪了几个周，但是，它在靠近太阳时隐没在眩光中——失踪了。高斯面临的挑战是在收集到的数据中找到规律。他向天文学家指出了可能会看到谷神星的天空区域。当然，他是对的。

卡尔·弗里德里希·高斯, 1803

但高斯不仅仅喜欢为星空寻找规律，他还热爱数字。在所有他热爱的关于数字的一切中，质数是他最钟情的珠宝。他幼时有一本对数书，书的最后有一张质数表。奇异的是现在两者被联系在了一起，因为高斯设法在两者之间找到了联系。

高斯尝试计算出有多少质数，而不仅仅是预测哪些数是质数。这就是最终解开质数的秘密的横向思维。他问：质数在全部数字中占多大比例？他发现数字越大，质数越少.他做了一张表，记录着质数所占的比例的变化.

例如，1000之内，平均每6个数中就有一个质数。

既然质数的分布看起来如此随机，也许掷骰子能够提供一个很好的质数分布模型。也许大自然用“质数骰子”来选择

左右的质数，“质数”写在一面，另五面空白。为了决定

是不是质数，大自然掷骰子来看它是否落在质数的一边。当然，这只是一个启发式模型。一个数要么是质数，要么不是质数，但高斯认为这个“质数骰子”也许会产生一个与真正的质数序列具有相似性质的数字序列。

当我们检查越来越大的数字的是否为质数时，骰子有几个面？对于

左右的质数，大自然似乎使用了一个六面骰子；对于

左右的质数，需要一个

面骰子。（所以伦敦的某个电话号码是质数的概率是

。）高斯发现，他那本含有质数表的书开头的对数表，为确定质数骰子上有多少面提供了答案。

让我们再看一遍高斯的质数统计表。每当高斯把第一列的数字变成原来的的十倍时，记录骰子面数的最后一列中的数字大约会增加2.3。这样，我们就得到了有关质数的一个规律。高斯意识到，还有一个函数也有同样的功能，能把乘法变为加法，这就是对数函数。

17世纪，苏格兰男爵约翰·纳泊尔第一次发现了质数函数在数学中的重要作用。当时的人们普遍认为纳泊尔与恶魔结盟，因为他肩上扛着一只黑乌鸦，拎着一只小笼子里的蜘蛛在城堡里边走边咕哝着关于他的创世纪代数理论的预言。但时至今日，他因发明了对数函数被人铭记.
将数字

输入到对数函数中，会输出一个数字

，它是下列方程的解。

例如：

把输入乘以

，输出就会加

。

但是我们不必总是选择

来做

的底数，选择

只是由于我们有十个手指。不同的对数函数可以有不同的底数。每当输入乘以

，高斯的质数骰子函数的输出都会增加

。这个函数类似于一个对数函数，这个对数函数的底数称为

.

高斯猜测一个数

是质数的概率是

，其中，对数的底数取

。这是掷出一个有

面的骰子，“质数”面朝上的概率。注意，当

变大时，

也变大，质数那面朝上的概率随之变小。随着数字增大，质数的分布越来越稀疏。

如果大自然将质数骰子掷

次，有着不同面数的骰子分别能得到多少质数？如果骰子有一个固定的边数，比如

，那么得到的质数个数大约是

，这是

加起来

次的概率。现在高斯改变每枚骰子的面数.得到的质数的个数应该分别是

高斯将质数的这一猜测精确化为一个称为对数积分的函数，用

表示。高斯猜想与真实质数情况相比如何？我们可以看左边的图表。红线是高斯用他的质数骰子得到的，蓝线记录的是质数的真实数目。

高斯的猜测并不完全准确。但当数字越来越大时，它是否足够好呢？最佳的评价方法是记录百分比误差：看看高斯对质数的预测与实质数之间的差异占真实质数的百分比。

高斯认为，随着我们的考虑的数字越来越大，百分比误差会越来越小。他不相信有什么可怕的惊喜等着我们。他的猜想被称为：高斯质数定理(Prime number theorem
)：百分比误差随着计数的增加而越来越小。

我们已经有了很多证据来证明这一点，但怎样保证更大的

仍然符合这一规律呢？

1896 年，比利时人Charles de la Vallée-Poussin和法国人 Jacques Hadamard，证明了高斯是正确的。但要注意的是，此规律的持续存在性并不明显。高斯还认为他的猜测总是高估了质数的数量。表中的数据让这一点看起来无比正确.但 1912 年，剑桥的数学家Littlewood证明了高斯是错的。尽管，高斯的猜测第一次低估质数的个数，是当

比可观测宇宙中的原子数还要多时——这决不是实验能够揭示的。

高斯发现了大自然用来选择质数的“质数骰子”。这些骰子的边数随着所选择的质数增大而增加。边的数目像对数函数一样增长。现在的问题是要确定这个骰子是如何落下的。正如一枚硬币很少竖立落下一样，高斯仍然不知道这个骰子是如何落下的.

高斯的学生黎曼，发现音乐可以最好地解释如何从高斯猜想的图像得到质数的真实图像。正如我们将在另一篇文章中发现的那样，黎曼的音乐可以解释大自然的骰子是如何真正地降落的.(完)

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