哈尔滨丨第二个重要知识点——中考数学经典例题讲解：求线段长
前言 PREFACE
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2020年哈市中考数学特点主要体现在试卷结构，题目数量，题型以及能力要求等方面，试卷还体现数学学科教学中对情感、态度和价值观以及较强的逻辑推理能力考查的理念，丰富了数学试卷的内涵品质。哈尔滨中考各科不同于别的地区，题型陈旧、难度高，被戏称应试教育科举的典范。
实操真题讲解
1．（2020·哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为（2√2）．
【分析】
设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+x＝3/2x，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．
【解答】
解：设BE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝3x，
∴OB＝OD＝3/2x，
∵OE+BE＝BO，
∴1+x＝3/2x，解得x＝2，
即AB＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，OA＝√AB²-√OB²＝√4²-√3²＝√7，
在Rt△AOE中，AE＝√AO²+√EO²＝√1²+√(√7)²＝2√2．
故答案为2√2．
【点评】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2、（2019·哈尔滨）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为√13．
【分析】
由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】
解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，
∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°
∴∠A'CB＝90°
∴A'B＝√BC²√A`C²＝√13
故答案为√13
【点评】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
3．（2018·哈尔滨）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝√10，则线段BC的长为 4√2 ．
【分析】
设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝1/2x，BN＝FN＝√10，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．
【解答】
解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM＝45°，
连接BE，
∵AB＝OB，AE＝OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM＝45°，
∴BM＝EM＝MC＝x，
∴BM＝FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN＝MN＝1/2x，BN＝FN＝√10，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，
∴(√10)²=x²+1/2x²，
x＝2√2或﹣2√2（舍），
∴BC＝2x＝4√2．
故答案为：4√2．
【点评】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
4．（2017·哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为（2√5）/5．
【分析】
由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，证出BC＝AD＝3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，
∠AMB=∠DAE
∠B=∠DEA=90°
AB=DE
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：1²+（2x)²＝（3x)²，
解得：x＝√5/5，
∴BM＝2√5/5；
故答案为：2√5/5．
【点评】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．
5．（2016·哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6√2，则FG的长为 3√6 ．
【分析】
首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根据2·S△ABC＝BC·FG即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAB＝∠CAD＝60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG＝∠AGE＝30°，
∵∠B＝∠EGF＝60°，
∴∠AGF＝90°，
∴FG⊥BC，
∴2·S△ABC＝BC·FG，
∴2×√3/4×（6√2)²＝6√2·FG，
∴FG＝3√6．
故答案为3√6．
【点评】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半，属于中考常考题型