不可不知的——直线的参数方程

在高考中，

直线的参数方程，

主要考查与普通方程之间的转化。

是不是很多同学，

都果断将参数方程，

转化为了普通方程了呢？

但其实，

直线的参数方程，

在解析几何中的地位还是非常重要的，

因为用它，

可以很方便地处理距离问题。

嗯，

还是先了解下，

直线的参数方程吧。

设定点A(x0,y0)，

经过点A的直线倾斜角记为θ

点P为直线上一动点，记|AP|=t,

设定点A(x0,y0)，

经过点A的直线倾斜角记为θ

点P为直线上一动点，记|AP|=t,

设定点A(x0,y0)，

经过点A的直线倾斜角记为θ

点P为直线上一动点，记|AP|=t,

设定点A(x0,y0)，

经过点A的直线倾斜角记为θ

点P为直线上一动点，记|AP|=t,

上面四种情况虽然都很有道理，

但对于记忆来说，

确实还是有些复杂了。

其实，

我们最期望的结果，

还是能将四种形式做个统一，

这样更便于我们的记忆。

就像是下图中，

虽然直线绕定点旋转，

但过程中，

直线上点P的坐标，

最想找一个统一的表达。

于是，

便有了超好和神奇的，

直线的参数方程。

设定点A(x0,y0),

经过点A的直线倾斜角记为θ,

点P为直线上一动点，

记AP=t, 并规定:

当AP方向向上（左上或右上）时，t>0;

当AP方向向下（左下或右下）时，t<0.

在此规定下，

上面四种情况下点P坐标统一为：

这样的结构，

不仅因为点P坐标形式的统一，

更因为点P为直线上的动点，

从而通过消t便能得到直线的方程了。

只是消t虽然不麻烦，

但是式子也绝对不好看的。

我们就把这个横纵坐标的表达式，

定义为直线的参数方程。

现在，

经过点A(x0,y0)，

且倾斜角为θ的直线参数方程为：

为何t为参数？

主要是因为直线的倾斜角是固定的，

而且，

随着t值的改变，

点P便会发生移动了。

简单说，

点P与参数t的取值，

是一一对应的。

而且一定要理解t的几何意义哟。

当然，

如果实在不能理解，

看几个例题便也就解惑了。

其实，

按照以往直线的方法，

也知道这个方程的表达形式：

上面的点斜式，

我们一般称它为直线方程的普通式。

那么，

参数方程与普通方程，

它们之间的关系究竟怎样？

只要你动手消参就知道了。

所以，

对于直线的参数方程：

消t的过程便是这样的：

所以便有了，

我们所熟知的，

直线方程的点斜式：

当然，

直线的参数式，

与普通式方程之间的转换，

是高考的基本要求。

而我们，

之所以研究直线参数方程，

当然不能仅为了，

进行两者之间这种无聊的转换了。

因为参数t的几何意义，

虽然只是一个有向线段的长度，

但也毕竟还是长度，

所以解析几何中，

但凡遇到同一条直线上，

到某一定点之间距离关系时，

往往就可以考虑用这个参数式解题了。

根据参数t的几何意义，

不难得出,

直线与曲线相交时，

弦长是很容易用t表示的。

其实想想，

弦长就是|t1-t2|了。

而直线上不同两点到定点距离之积，

其实就是|t1t2|.

这样，

就把距离的相关问题，

转化为最常见的、

二次方程的韦达定理了！

1

有没有觉得，

中点弦的问题，

用参数方程也挺不错的呢？

当然，

如果只是中点弦，

是绝对没有点差法来的更方便的。

1

见到了非中点的弦了，

那用常规方法，

会不会比较麻烦呢？

当然，

定比点差法，

还是个挺不错的选择的。

但是现在，

用了参数方程，

是不是觉得也是方便的呢？

1

从这个题可以看出，

如果涉及到同一直线上不同点，

到同一定点之间距离关系时，

用参数方程，

其实确实是很方便的。

1

这是高考真题。

当然，

现在看来是挺简单的了。

尤其是用参数方程，

是不是感觉挺爽的呢！

一定要记得，

x=t·cosθ,y=t·sinθ,

同时也有：

t·cosθ=x,t·sinθ=y哦.