埃舍尔——一个画家的数学素养
1898年出生在荷兰的埃舍尔，自称是一个“图形艺术家”，他专门从事木版画和平版画。他的家庭为他设想希望他将来能从事他父亲的建筑事业，但由于他对绘画和设计的偏爱，最终还是选择了从事图形艺术的职业。
1956年，他举办了他生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他获得了世界范围的名望。在对他热情的赞美者中不乏有许多的数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。由于这位荷兰艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而尤其令人赞叹。随着他的创作的发展，他从自己读到的数学思想中获得了巨大的灵感，他经常直接运用平面几何和射影几何的结构，这使得他的作品中深刻地反映了非欧几何学的精髓。他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，创造了许多引人入胜的艺术成果，下面我们将看到这一点。
1.镶嵌图形
规则的平面分割叫做“镶嵌”，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般说来，构成一个镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状。然而，更使埃舍尔着迷的是那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。他用几何学中的反射、变换和旋转来获得更多的变化图案，他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。这样的效果既是惊人的，又是美丽的。下面选录了埃舍尔的“骑士平面镶嵌”和“黑白鸟的镶嵌”两幅平面镶嵌图（图1、图2)供读者欣赏。
其中，“骑士平面镶嵌”曾被诺贝尔奖获得者杨振宁作为他的名著《基本粒子小史》的封面，显示了物理大师的艺术底蕴。图1呈现了某种怪异的对称现象（把白骑士看作图形，黑色骑士就成了“衬底”。把衬底揭起来，翻转180°，就能够同原图形重叠)，而杨振宁、李政道所发现的，就是物理世界某种“对称”的破坏和缺损——在弱相互作用下的“宇称不守恒”。
图1
而在黑白鸟的平面镶嵌里，我们看到的是向西北方向飞去的黑色的鸟和向西飞去的白色的鸟。
图2
2.多面体
规则的几何体，例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力。他把它们作为许多作品的主题，并在许多作品中作为第二重要元素出现。仅仅只有五种多面体被称为理想多面体（即有4个三角形表面的正四面体、有6个正方形表面的正方体、有8个三角形表面的正八面体、有12个五边形表面的正十二面体、有20个三角形表面的正二十面体)，埃舍尔在他的木版画“四个常规的几何体”中，把理想多面体中的4个匀称地交叉了，并使它们呈半透明状，以使每一个多面体可透过其他多面体而得以辨认。
交叉的几何体常出现在埃舍尔的作品中，其中最有趣的是一幅木版画“星”（图3)。这是一个由八面体、四面体、立方体和其他东西交叉构成的几何体。埃舍尔给了我们一种奇异的视觉刺激，使我们对他的画刮目相看。显然，数学家们对埃舍尔的作品颇为赞赏的另外原因是，所有伟大的数学发现背后都具有与此相同的感性和创意。
图3
3.空间的形状
在埃舍尔用数学观点完成的所有重要的作品中，最重要的是处理空间性质的作品。他的木版画“三个方向交叉的平面”是评论这些作品的好例子（图4)，因为它显示了艺术家对空间维度的关心，以及用二维的方式来表现三维空间的能力，埃舍尔经常利用这一特征来获得令人震惊的视觉效果。
图4
不平凡的是木版画“蛇”（图5)所表现的空间，在缠绕和缩小的环的表现下，空间既向边界也向中心延伸并且无穷无尽。如果人在这一空间里，将会是什么模样？
图5
埃舍尔对拓扑学的“视觉效果”也很感兴趣，这是在他艺术创作的鼎盛时期发展起来的创作内容。拓扑学关注的是空间那些扭曲后依然不变的性质，这种扭曲可以是拉长或弯曲，但不是撕裂或折断。拓扑学家忙于向世界展示那些奇怪的物体，莫比乌斯带是最主要的例子，它有一个令人感兴趣的性质，即只有一个边和一个面。如果我们跟踪埃舍尔的“莫比乌斯带上的蚂蚁”的路径（图6)，您将发现它们不是在相反的面上走，而是都走在同一个面上。
图6
4.自我复制
埃舍尔的艺术与信息科学、人工智能的关系，被美国科学家道格拉斯·霍夫斯塔特所重视，被写在他赢得1980年普利策奖的《哥德尔，埃舍尔，巴赫——一条永恒的金带》一书中。
埃舍尔表现的一个核心概念是自我复制，许多人认为这个已经逼近了大脑知觉这个难题的核心，并且至今计算机还不具备成功地模仿人类大脑处理信息的能力。平版画“互绘的双手”（图7)和木版画“鱼和规模”（图8)用不同的方法表现了这一思想。前者的自我复制是直接的、概念化的，双手互绘对方，互绘的方式就是意识思考和构建自己的方式。神奇的是，在这里自我和自我复制是连接在一起的，也是相互同等的。
图7
而在“鱼和规模”这幅画中，自我复制具有更大的功能，也许可称之为自我相似。这样木版画所描述的就不仅仅是鱼，而是所有的有机体。尽管从物理学角度来说，我们不是由微小的自我复制建造起来的，但是，从信息论角度来说，我们的确是以这样一种方式建立起来的，因为我们身体上的每一个细胞都以DNA的形式携带了我们个体的完整信息。从更深层次的水平上讲，自我复制是一种我们的认知世界互相反映和互相交错的结果。
图8
以上只是分析了埃舍尔几百幅艺术作品中的几幅，埃舍尔作品的深度和重要意义为我们留下了丰富的遗产。让我们永远再思考他从幻想世界、数学世界和我们现实世界中抽象出来的这些世界之间的丰富联系。