解题的哲学思考——内容与形式

选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

内容与形式

——衣服经常暴露了穿衣人——莎士比亚

一、哲学阐释内容与形式：内容决定形式，形式为内容服务，内容必须通过形式表现，形式对内容具有反作用，内容和形式存在统一体中，不可分割。黑格尔：内容非他也，即形式转化为内容也；形式非他也，即内容转化为形式也。

果我们只关注这个方程的类型时，它的内容是一个一元二次方程，所以内容为形式转化为内容。目的和关注点决定了转化的方向。

二、解题指导无论以“数”，还是以“形”的方式出现，都会呈现出相应的形式（结构），比如待定系数法是根据内涵得到相应的形式。正是因为内容和形式统一，根据结构寻找相应的处理方式也是一种根本方法。

正是因为在转化的过程中，才会有相应内容的呈现，所以只有转化、变形，我们会迷乱，重要的不是变，而是把握变的方向，即明确指向的内容或相应的结构。

条件有条件的结构，结论也有结论的结构，实现两种结构的一致性，也就实现了内容的一致性，这就是代数变形的方向。

在变形的过程中，也需要根据题目中出现的结构，灵活选择。

在指向不明确的时候，从内容去考查，各部分内容之间的关系就是方向，从结构上看，简化结构就是方向，常常把两者结合在一起来考虑。

在几何中，一定的图形结构，蕴含着一定的数量关系，很多复杂的几何图形都蕴含着一些最基本的结构，掌握这些基本结构的处理方式，把复杂问题有效地转化为基本结构，使得问题得到有效解决。

在《解析几何的系统系突破》把“与两个定点连线斜率之积为不等于  1 的负常数”作为椭圆的第三定义。在解析几何中，我们形成如下有效的思路：看到曲线上的点和焦点，联想第一定义；看到曲线上的点和顶点，联想到第三定义。

【点评】看到两个顶点和椭圆上的点，迅速想到第三定义，即 AS , BS 斜率之积为定值，从而 AM , BN 的斜率之积为定值，迅速可以找到 M , N 坐标之间的关系，第（Ⅱ）得以解决。