【专题提升】平行四边形存在性问题

01

坐标系中的平行四边形

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

（1）对应边平行且相等；

（2）对角线互相平分．

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：

（1）对边平行且相等可转化为：

可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．

（2）对角线互相平分转化为：

可以理解为AC的中点也是BD的中点．

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：

当AC和BD为对角线时，结果可简记为：A+C=B+D（各个点对应的横纵坐标相加）

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？

反例如下：

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，在抛物线条件下的平四存在性基本不会出现共线的情况．另外，还需注意对对角线的讨论：

（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．

（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

02

两类题型

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．

三定一动

引例：已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．

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两定两动

引例：已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．

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03

动点概述

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：

（1）对边平行且相等；

（2）对角线互相平分．

但此两个性质统一成一个等式：

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．

04

以确定边、对角线为前提

有一类问题中，根据题目给的条件可判断某条线段为边或者对角线，若某线段为边，则可通过构造对边平行且相等解决问题．若某线段为对角线，则可通过构造对角线互相平分解决问题．

2019宜宾中考

【已知边平行，构造相等】

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-2x+c与直线y=kx+b都经过A（0，-3）、B（3,0）两点，该抛物线的顶点为C．

（1）求此抛物线和直线AB的解析式；

（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．

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2018河南中考删减

【已知边平行，构造相等】

如图，抛物线y=ax²+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．

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2018郴州中考删减

【已知对角线，构造平分】

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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05

关于动点的讨论

大部分平行四边形存在性问题还是需要我们去分类讨论探索动点位置，有的时候看图并不一定能准确找出所求可能存在的动点，所以根据点坐标满足的条件列方程计算，不失为一种简洁的方法．

2018恩施中考删减

【三定一动】

如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（-1,0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标．

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2018济宁中考删减

【两定两动：x轴+抛物线】

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（3,0），B（-1,0），C（0，-3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2019包头中考删减

【两定两动：对称轴+抛物线】

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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2019咸宁中考删减

【两定两动：直线+抛物线】

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-1/2x²+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）已知E、F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

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2019连云港中考删减

【两定两动：抛物线+抛物线】

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x²+bx+c过点C（0.-3），与抛物线L2：y=-1/2x²-3/2x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．

（1）求抛物线L1对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标．

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2019锦州中考删减

【4动点构造】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3/4x+3的图像与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．