2021山东临沂第26题（正方形综合）

2020山东临沂第26题

原题呈现

如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC

（１）求证：AG=GH；

（２）若AB=3，BE=1，求点D到直线BH的距离；

（３）当点E在BC边上(端点除外)运动时，∠BHC的大小是否变化?为什么?

图文解析

等腰直角三角形AGH，得AG=GH.

易证△AFH≌△ADH，故∠AHF=∠AHD=45°，则∠BHD=90°，所以DH长即为点D到BH的距离.

利用三角函数可求BG和AG，则DH=FH=GH-GH=AG-BG.

点E在运动过程中，∠BHC的大小不变，请看下面动态演示.

由∠ACD=∠AHD=45°得点A、D、H、C共圆，于是∠AHC=∠ADC=90°，因为∠AHB=45°，所以∠BHC=45°.

过点C作CN⊥CH，交BC于点N.

易证△BNC≌△DHC，所以CN=CH，所以△NCH为等腰直角三角形，故∠BHC=45°.