概率统计专题49：胸有成竹 - 离散型随机变量与期望
概率统计专题49：胸有成竹 - 离散型随机变量与期望
离散型随机变量是一个基础性的概念,“成竹在胸”就是说这些内容需要掌握得很好.该类型需要掌握离散型随机变量的概念、分布列、期望、方差的概念,以及一些性质,如:两个变量成线性关系,则其期望、方差满足什么关系,还需要掌握一些简单特殊的分布如:两点分布、超几何分布、二项分布.
1、相关概念
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
(2)离散型随机变量的分布列及性质
(i)一般地,若离散型随机变量
可能取的不同值为
,
,…,
,…,
,
取每一个值
(
,
,…,
)的概率
,则表
称为离散型随机变量
的概率分布列,简称为
的分布列.
(ii)离散型随机变量的分布列的性质
①
(
,
,…,
);②
.
(3)条件概率及其性质
(i)条件概率的定义: 设
、
为两个事件,且
,称
为在事件
发生的条件下,事件
发生的条件概率.
(ii)条件概率的性质: ①
, ②若
、
是两个互斥事件,则
.
(4)事件的相互独立性及其性质
(i)定义:设
、
为两个事件,如果
,则称事件
与事件
相互独立.
(ii)性质:若事件
、
相互独立,则
;事件
与
,
与
,
与
都相互独立.
(5)独立重复试验:在相同条件下重复做的
次试验称为
次独立重复试验,若用
(
,
,…,
)表示第
次试验结果,则
.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且每次试验中发生的概率都是一样的.
(6)离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量
的分布列为
,
,
,…,
.
(i)均值:称
为随机变量
的均值或数学期望.
(ii)方差:称
为随机变量
的方差,其算术平方根
为随机变量
的标准差.
2、三个特殊的分布列
(1)两点分布:若随机变量
服从两点分布,其分布列为
其中
称为成功概率.
(2)超几何分布:在含有
件次品的
件产品中,任取
件,其中恰有
件次品,则
,
,
,
,…,
,其中
,且
、
,
、
、
,称随机变量
服从超几何分布.
(3)二项分布:在
次独立重复试验中,用
表示事件
发生的次数,设每次试验中事件
发生的概率为
,则
(
,
,
,…,
),此时称随机变量
服从二项分布,记为
.
3、几个常用公式
(1)
.
(2)
.
(3)若
服从两点分布,则
,
.
(4)若
,则
,
.
(5)若
服从超几何分布,则
.
4、常见题型
(1)一般模型的离散型随机变量的分布列、期望、方差的求解,直接利用通用公式求解.
(2)特殊分布,即两点分布、超几何分布、二项分布的分布列、期望、方差,识别这些分布,可以直接应用对应公式求解,可简化计算.
(3)离散型随机变量的分布列、期望、方差与统计、函数、数列等知识综合命题,此类试题有一定难度,但难点一般都在其它知识点.
5、一些处理技巧及注意点
(1)概率之和为
的应用.
(i)利用分布列中概率之和为
求参数的值.
(ii)利用概率和为
可求某些较难计算的变量的概率,即用
减去其它已求出的概率.
(iii)检查每个概率值均在区间
之内,且概率和为
.
(2)根据定义区分相斥事件、相互独立事件.互斥事件的概率计算用加法公式、独立事件的概率计算用乘法公式.
(3)区别条件概率与事件的发展过程.条件概率一般都含有字眼“在**的前提下”,或者
.事件的发展过程是指事情需要一步一步的完成,只有每一步按照顺序做完了整个事件才算完成.
(4)区别超几何分布和二项分布.
(i)超几何分布的两个特点:①超几何分布是不放回抽样问题, ②随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布属于古典概型,主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型.
(ii)二项分布满足的条件:①每次试验中,事件发生的概率是相同的;②各次试验中的事件是相互独立的;③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生;④随机变量是这
次独立重复试验中事件发生的次数.
(5)条件概率的求法:
(i)通法,即定义法,分别求
和
,得
.
(ii)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件
包含的基本事件数
,再在事件
发生的条件下求事件
包含的基本事件数,即
,得
.前提是:基本事件上是可数的.
(iii)剩余事件法,借助古典概型,基本事件是可数、有顺序的,且条件发生在前面才可以去掉.解题时直接把前提条件去掉后再计算.
(6)利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路.
(i)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和.
(ii)将彼此互斥简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.
(iii)代入概率的积、和公式求解.
(7)计算均值与方差的基本方法.
(i)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差,可直接用定义或公式求;
(ii)已知随机变量
的均值、方差,求
的线性函数
的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求;
(iii)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利用它们的均值、方差公式来求.
(2019全国I卷21)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多
只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得
分,乙药得
分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得
分,甲药得
分;若都治愈或都未治愈则两种药均得
分.甲、乙两种药的治愈率分别记为
和
,一轮试验中甲药的得分记为
.
(1)求
的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予
分,
(
,
,…,
)表示“甲药的累计得分为
时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则
,
,
(
,
,…,
),其中
,
,
.假设
,
.
(i)证明:
(
,
,
,…,
)为等比数列;
(ii)求
,并根据
的值解释这种试验方案的合理性.
【答案】见解析
【解析】
(1)
的所有可能取值为
,
,
.
,
,
,
所以
的分布列为
(2)(i)由①得
,
,
.
因此
,故
,
即
.
又因为
,所以
(
,
,
,
)为公比为
,首项为
的等比数列.
(ii)由(i)可得
.
由于
,故
,所以
表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为
,乙药治愈率为
时,认为甲药更有效的概率为
,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
1.(2021天津滨海塘沽一中期中)
月
日是“世界读书日”,某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取
名学生参加问卷调查.各组人数统计如下
(1)从参加问卷调查的
名学生中随机抽取
人,求这
人来自同一个小组的概率;
(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取
个,用
表示抽得甲组学生的人数,求随机变量
的分布列和均值.
2:
为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对
位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的
个球中有
个所标的面值为
元,其余
个均为
元,
求①顾客所获的奖励额为
元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是
元,并规定袋中的
个球只能由标有面值
元和
元的两种球组成,或标有面值
元和
元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的
个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.