恒成立问题浅析

恒成立问题在初中接触较少，但因为其中数学思想和方法的重要性及与高中内容的紧密联系，尤其是与二次函数相关的恒成立问题很多情况下事实上都是转化为函数最值问题和方程解的问题等，在选拔性考试和学科竞赛中成为热点。下举几例，帮助同学们拓宽思路。

例1

已知y=x²+ax+3-a，若-2≤x≤2，y≥2恒成立，求a 的取值范围。

分析：此题虽然看着是恒成立问题，但是本质上来讲就是探讨-2≤x≤2时函数的最小值大于等于2的问题，故而首先得求-2≤x≤2时函数的最小值。本题是典型的自变量取值范围确定，对称轴不确定的问题（区间定、轴动）。我们要探讨对称轴在[-2,2]左侧，在[-2,2]之间，在[-2,2]右侧三种情况，其相应的最小值要大于等于2，最后再把三种情况的结果合并起来（高中称取并集）。

答案：-5≤a≤-2+2√2

例2

若关于x的不等式x²-ax-a＞0的解集为全体实数，求实数a 的取值范围。

分析：此不等式的解集为全体实数，也就是说无论x取何值，代数式x²-ax-a的值恒大于0。事实上我们考虑二次函数y=x²-ax-a，其图像开口向上，若要求其函数值恒大于0，也即满足图像与x轴没有交点即可，也即转化为方程x²-ax-a=0无解即可。

答案：-4＜a＜0