回顾从自然数1，2，3，4，…开始，再加上分数、负数、无理数，直到成为实数的发展过程，可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河。自然数添上分数，再添上负数就成为了有理数（当然还要添上0）；有理数再加进无理数就成为实数。可是光有实数还不够，再加上新来的虚数，这就诞生了更广泛的数——复数。那么，为什么在数的世界里，要从自然数扩大到实数呢？他细想一想，这里有个一贯的原则。比如说，有一个人只知道10以内的数。当然对这个人来说：加法也是不太行的。也就是说，即使取其中任意两个数相加，也有可能答不上来。如果是2+3，他知道是5。要是6+7的话，他就只好说“不知道”了。他即使知道10000以内的数也是一样。因为6000+7000的答案不可能在10000以内的数里找出来。因此，为了无限制地进行＋运算，就必须有无限多的自然数。这样就产生了所谓无限多的自然数的整体的想法，这就是想象有这样一个自然数的整体，就可以自由的进行＋运算了。这时，自然数的整体对于＋来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘，是加法的重复，因此也能自由地进行。也就说自然数的整体对于×是闭合的。所以在只考虑＋或×的时候。只要自然数就够用，没有必要再考虑新的数。可是要考虑×的逆运算÷的时候，自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法结果却不一定是自然数。例如2÷3的结果就不是自然数。自然数的范围太狭窄了，要想自由地进行除法运算，就必须增加新的数，这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内，＋，×，÷就可以自由地进行。然而，想到＋的逆运算－的时候，这个范围又窄了。因为不能从小数减去大数，例如2－5，即使写出这个式子，也得不出答案。为了让这个式子也能有答案，就必须想出－3这样一个新数。也就是说要自由地做－运算，需要有一种新的数——负数。把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数，即有理数时，＋，－，×，÷四则运算可以自由的无限制地进行。换句话说有理数对于四则运算是闭合的。19世练的天才数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做域。按照这个叫法，也可以说整个有理数的集合是域。当然，叫域的除了有理数之外还有许多，对于我们来说最熟悉的首先就是有理数。当数的世界扩展到有理数时，＋，－，×，÷的计算虽然能自由地进行，但是还不具有连续性，所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数。有理数与无理数合起来就是实数。有了实数就可以表示直线上所有的点。总而言之，实数的集合就是对于＋，－，×，÷闭合的一个域，同时还具有连续性。到此为止，似乎可以认为数的世界扩展可以暂时停止了。可是，如果实数世界就是终点，数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。以前扩大数的世界时，在很多情况下它的契机是逆运算。例如，由于×的逆运算÷而增加了新的分数；由＋的逆运算－而产生了新的负数。从实数产生复数的契机也仍然基于逆运算。假如我们对于x这样一个实数任意进行＋，－，×，÷四则运算时，可得到以下的式子：不管这些式子多么复杂，也只是＋，－，×，÷的组合，所以只要x是实数，代入计算的值就也是实数。现在来考虑四则运算的逆运算，也就是从y求出x。例如当y=2时，x等于多少呢？这个计算就是解满足这个方程的x，结果呢？所谓
的逆运算不过是解代数方程
，只此而已。
以前也有这样的事，就是逆运算要比原来顺运算难，如－比＋难，÷比×难。现在的情况也是如此，解代数方程的运算是比四则运算要难。那么在实数的范围里，能不能自由地进行解这个代数方程的运算呢？答案是否定的。请看下面的实例。在四则运算
中，要是反过来从y求x的话，就不是任何时候都能行得通的。如果y是正数
可以求出实数x。如果y是负数，例如y=－1就不能在实数范围内找出与之对应的x。因为（实数）² 决不会是负数。因此我们知道，在实数的范围内，对于四则运算的逆运算“解代数方程”来说，不是闭合的。要想自由地解代数方程，就必须打破实数的框框，导入新的数。这个新的数就是虚数。我们知道，如果把数的世界扩大到复数，那么二次方程，三次方程以及zn -1=0形式的n次方程就都是有限的。而且不管什么情况，根的个数和方程的次数相同。这个试试能不能再一般化呢？也就是说所有的n次代数方程a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an = 0这件事大约在200年前就曾设想过，但在漫长岁月里谁也不能证明。首先证明这个事实的是20岁的青年高斯。他在1797年哥廷根大学的毕业论文里首先证明了这个事实。这个定理叫做代数学的基本定理，理由是解代数方程是代数学的最大任务。这个定理就保证了代数方程不论如何都有根存在，不用担心为了找出不存在的根而白费劲，可是即便知道有根，要找出它来也决不是容易的事。首先，解一次方程是很早以前就知道的。二次方程也是很早以前知道解法的。但三次方程就是后来才找到解法。对于这件事，卡尔达诺和塔尔塔利亚还争论不休呢。到了四次方程可就难得多了，那是卡尔达诺的弟子费拉里（1522-1563）发现的。方程的次数一高，方程的解法就像加速度一样变得更难。征服了四次方程的数学家们，又着眼于解五次方程。在很长的时期里，这是数学家进军的目标。你问登山家：“为什么要登喜马拉雅山呢？”登山家回答说：“因为它在那儿。”数学家也像登山家那样，把阻挡在眼前的五次方程作为目标，不断地发起突击。然而，所有的突击都被挡了回来。人们就渐渐知道这五次方程是格外棘手的目标。于是人们开始重新考虑。虽然根的存在是根据代数学的基本定理而得到保证的。可是解方程的手段如何呢？仔细推敲解方程的手段，到四次方程为止，根是可以用＋，－，×，÷还有开n次方n√ 等手段解出来。仍然只用＋，－，×，÷和n√ 能解五次方程吗？就像不带氧气，只用冰镐和绳索已经不能登上喜马拉雅山那样，数学家开始怀疑用以前的手段不能解五次方程了。挪威数学家阿贝尔（1802-1829）从这种怀疑出发，终于证明了只用＋，－，×，÷和n√ 不能解五次方程。接着伽罗瓦（1811-1832）把这个问题一般化，发现了只用＋，－，×，÷和n√ 所能解的方程的形式。他因此所创立的群论使后来的数学发生了很大的革命。
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