2021土耳其IMO代表队选拔考试 中文翻译

第一天

1.已知为正整数, 求证: 不为正整数.

2.某学校有若干同学. 他们之间有一些人有朋友关系, 朋友关系是相互的. 每个人视为他自己的朋友. 且满足如下条件:
对任意三个同学, 必存在一个同学, 与他们三个均为朋友关系.
对互为朋友的两个同学和, 他们的任意两个共同的朋友一定也互为朋友关系.
无法把所有学生分成两个部分, 使得某部分的任意一名同学与另一部分的所有同学均为朋友关系.
求证: 所有互相之前不为朋友关系的两个人的共同朋友个数相同.

3.内接于圆, 在不含点的弧上取一点, 在和的重叠部分取一点, 使得. 过的圆与直线再次相交于点, 直线和再次相交于点, 直线和交于点. 直线和交于点. 求证: .

第二天

4.某市场上有种鱼, 由个鱼贩子摆摊售卖. 每种鱼可能的产地有两个: 黑海的,或者地中海的. 每个鱼贩子的摊位上都有这种鱼出售, 且对于每个摊位, 均不存在来自两个不同产地的同一种鱼. 现有位顾客前来买鱼, 每位顾客都从每个鱼贩子处买了一种鱼, 使得每个顾客都买齐了种鱼. 已知对任意两个顾客, 必存在一种鱼, 使得他们所购买的这种鱼的产地不同.(一个是黑海的, 一个是地中海的)
求可能的最大值.

5.非等腰中, 的垂直平分线与其外接圆交于. 分别取中点, 过 的圆与过 的圆分别与再次相交于点. 过的圆与过的圆分别与再次相交于点. 求证: 直线共点.

6.求所有的正整数, 使得存在一组实数 满足, 对任意 , 均有, 且

第三天

7.已知内接于圆, 其内心为. 过点与的外角平分线与的交点作一条直线, 与过的圆交于点. 类似的定义点. 求证: 的外接圆半径为半径的两倍.

8.已知为实数. 函数不为常函数, 且对任意实数, 均有

求的所有可能的值.
函数可否为周期函数?

9.求所有使得以下等式成立的整数对: