内算与外算
根据秦九韶在《数术九章》序中将代数问题及其应用以及天文历法这些代数化之几何问题归为“内算”，有关测量之方圆数术等几何问题归为“外算”。原文引用如下：
今数术之书，尚三十余家。天象、历度谓之缀术；太乙、壬、甲谓之三式；皆曰‘内算’，言其秘也。《九章》（指《九章算术》）所载，即周官九数，系于方圆者为叀术，皆曰‘外算’，对内而言也。其用相通，不可歧二。
《易经·系辞上》曰：
夫易，圣人之所以极深而研几也。惟深也，故能通天下之志；惟几也，故能成天下之务；惟神也，故不疾而速，不行而至。子曰：“‘易有圣人之道四焉’者，此之谓也。”
“极”，即推测；“几”，即指事物极细微之变化苗头。后世不但在算术领域将“几”推广到研究不定数、未知数、分数或小数等各种非整数，甚至将符合某些分数（比例）之桌案也称为几。
（清）劳乃宣《古筹算考释》记载古人计算时用算筹，曰：
（算筹）其度不一，古长而汉短。盖古者席地而坐，布算于地，故宜长；后世施于几案，故宜短。
对古文化稍有了解之人都知道，古人对于桌子之称呼很有讲究，今人大感其烦，几案都统称为桌子。（南宋）黄伯思著《燕几图》，将几案之规格一一说明。如按照“山雷颐”卦（
）制几，则其桌面长七尺，宽五尺二寸五分。颐卦之“彖辞”曰：
贞吉，养正则吉也。观颐，观其所养也；自求口实，观其自养也。天地养万物，圣人养贤，以及万民；颐之时义大矣哉！
这说明，使用颐卦几案之人，应自食其力、自力更生。若按照“水泽节”卦（
）制几，则其桌面长宽皆为五尺二寸五分。节卦之“彖辞”曰：
亨，刚柔分，而刚得中。苦节不可贞，其道穷也。说以行险，当位以节，中正以通。天地节而四时成，节以制度，不伤财，不害民。
这说明，使用节卦几案之人，应该心怀节俭之念，如此，就算经济条件暂时受到限制或制约，亦可安度时艰。
《燕几图》问世400余年后，（明）戈汕受黄伯思启发，发展了黄氏之设计构思，撰写了《蝶几图》。《燕几图》以矩形为基本形制来构造几案，而《蝶几图》以斜角形为基本形制来构造。后者之构思更为新颖变化、更为多样，形式也更为丰富多彩。《燕几图》与《蝶几图》乃中国家具史中之姊妹篇，对后世影响极大。
中国古代学者们认为，万事万物都要与数相关联，难怪周文王感慨曰“大哉言数”。不管能否理解，后人都会觉得其神秘莫测。由于古人之数字化思想，因此即便研究的是几何问题，那也是代数化之几何。
在古代，不管是“内算”还是“外算”，早期之计算都是采用算筹来实现。（北宋）沈括在《梦溪笔谈·技艺》中记载天文学家卫朴使用算筹：
大乘除皆不下，照位运筹如飞，人眼不能逐。
以此称赞其计算速度快捷无比。（北宋）文莹 《玉壶清话·卷八》记载：
太宗居晋邸，知客押衙陈从信者心计精敏，掌功官帑，轮指节以代运筹，丝忽无差。
可见，在宋朝，算筹之使用还是主流。作为一种计算器，算筹使得中国古代之计算技术遥遥领先于同时期之其他国家。中国人很早就在使用十进制，这使得算术算法之发展更加精湛。
约成书于四、五世纪之《孙子算经》（作者生平不详）在上卷中叙述了算筹记数之纵横相间制度与筹算乘除法则，并举例说明筹算分数算法与筹算开平方法，其中详述了算筹之运行法则：
凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当。满六以上，五在上方；六不积聚，五不单张。
即个位数用纵式，十位数用横式，依此类推，交替使用。当个位大于或等于6时，则分成5+x；上方用一个筹表示5，以示简洁。《孙子算经》之杰出之处，在于其“内算”算法令同时期之整个世界望尘莫及。如其下卷第26题“物不知数”问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：“二十三。”
书中不但提供了答案，而且还给出了解法。800余年后，（南宋）大数学家秦九韶进一步开创了对一次同余式理论之研究工作，推广了该问题。又600余年后，德国数学家高斯于公元1801年出版之《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年，英国基督教士伟烈亚力（Alexander Wylie，1815-1887年）将《孙子算经》“物不知数”问题之解法传到欧洲；1874年，马修森（L.Mathiesen，生卒年不详）指出《孙子算经》之解法符合高斯之定理，从而促使西方数学史里将该定理改称为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。
若说西方式数学是系统性、严谨性、逻辑性之典范，则东方式数学又以其实用性、计算性与构造性独树一帜。中国古人用那些算筹，以惊人之算法与毅力，计算出很多令今人都为之汗颜之结果，如计算连分数、开根号、行星之周期、无理数之逼近。
中国古人对于乘方与开方运算之掌握程度，在此略举两例。北宋数学家贾宪（籍贯、生卒年不详）约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》，原书佚失，但其主要内容被南宋数学家杨辉（约13世纪中）之著作所引录，故能传世。杨辉在《详解九章算法》（1261年）一书中，载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是针对于乘方运算著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”，即今日所谓之二项式展开系数三角。《详解九章算法》同时录有贾宪利用二项式展开系数进行高次幂开方之“增乘开方法”，即求高次幂之正根法，如、等。目前中学所学之综合除法，其原理与计算过程都与之相仿。增乘开方法整齐、简捷，又更程序化，所以在开高次方时，突显出极大之优越性。而在西方，增乘开方法之算法在700余年后之公元1819年，才由欧洲数学家得出。而据科技史学家李约瑟（1900-1995年）之看法，似乎还是西方传教士将之从中国抄回去的。
另一个例子是关于音律学的，即（明）朱载堉（1536-1611年）之数学成就，其人能将如等开方数手算精确到小数点后23位，即便在现代也算是神乎其技。若还能明白这些竟然是靠算盘打出来的，你是否会感到叹为观止呢？朱载堉之《律学新说》与《律吕精义》中充满了这些计算，感兴趣之读者不妨另行参阅。顺便介绍一下，朱载堉字伯勤，号句曲山人，明太祖朱元璋九世孙，律学家、历学家、数学家，有“律圣”之称，李约瑟将其誉为东方之达·芬奇，并认为西方十二平均律之原理也是西方传教士将朱载堉之研究从中国抄回去。可惜的是，朱载堉之后，十二平均律之原理在中国大地并没有得到很好地应用，反而是西方人迅速地将其扩散，促进了钢琴之诞生。
东汉时期，数学家、天文学家徐岳（？-220年）撰《数术记遗》，其中就记载了14种算法，分别为积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、记数（即心算）。唐宋以后，《数术记遗》中所述之12种算具，除珠算沿用至今外，其他算具均相继失传，故书中只有文字介绍，并无算具图样，其历史原貌，无人知晓。而珠算能沿用至今，当然是得益于（明）程大位进一步扩展了其算法。
长期以来，珠算以其快速之运算能力——或许还有那悦耳的、噼里啪啦的珠子相击声——称霸世界算学界。再者，中国古人书写用毛笔，打数学草稿似乎不太惬意也不太方便。因此，便很大程度上造成了笔算与笔算技术之落后，从而也阻碍了古中国数学符号化与理论抽象化之深入。
读者试想，在代数学中若没有符号，纯粹是文字，你是否还能读得轻松？若不但没有符号，而且全是文言文，你是否还能读懂？现当代有很多曾留洋求学之华人科学家，其动机不管是出于爱国、想曲线救国，还是个人深造，可能都曾有过如此看法：中国古代之科技成就太没深度了。他们甚至否认祖冲之早于西方世界上千年算出圆周率之七位有效小数，他们喜欢将贾宪三角称为帕斯卡（Pascal，1623-1662年，法国数学家、物理学家）三角、将勾股定理称为毕达哥拉斯定理、将中国剩余定理称为高斯定理。究其原因，只怕还是因为文言文难看懂甚或看不懂，以致不知道古人做过什么罢了。
（明）朱载堉之《律吕精义·内篇》全然属于内算，乃没有符号且枯燥无比之代数计算，这正是古中国数学计算之基本特征。“内算”给古中国数学之发展带来很大限制，其不易被理解；且由于中国古代实行书院式教育，师徒之间口耳相传，如此便不易传播、容易失传。再如一元二次方程
，其解为
。读者试想，这一不算复杂之数学公式该怎样用文言文表述？表述出来后，谁还愿看？
对于古中国之“外算”，也存在着上述问题。西周时期，很多几何概念便已出现，如方尺、方、平方、乘方，还有田、里、邑等，都是表示土地面积之度量单位。坤卦（
）六二爻曰：
直、方、大；不习，无不利。
可见，“坤”具有直线、平面与无穷大之属性。该爻说明：做事时若行为方正，不随便逾越，则即便不熟悉，也不会有何不利。
《逸周书》中有关于周武王定制之记载，如：
辟开修道，五里有郊，十里有井，二十里有舍。
可见，何为郊、何为野、何处挖井、何处置舍，古人是有严格之距离（几何长度）标准的。此外，古人对何为道、何为路、何为途、何为衢都有其哲学与几何定义。如：路是眼睛明显可见之路径，而道则是（不凭肉眼观测的）由头脑分析、思考与探索后所找到之路径。故老子说“道可道，非常道”，而不说“路可道，非常路”；李白感叹“大道如青天，我独不得出”，而不说“大路如青天，我独不得出”；鲁迅先生在《故乡》文末说“其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路”，而不说“其实地上本没有道，走的人多了，也便成了道”。正由于古人将哲学引入几何之中，才使得“外算”不太容易推广与流传。再如，今人对“康庄大道”之本意，大多不求甚解，而事实上，战国晚期之著作、中国最早解释词义之《尔雅》解释道：
四达谓之衢，五达谓之康，六达谓之庄。
可见，“康庄大道”还需要满足多向通达，而并非单指路宽好走。
古中国人在“外算”中构造了多如繁星之几何概念，在当时它们虽然有严格之差异，但今日它们已几乎都被化繁为简地被混用，如边与界、郊与野、道与路。惟其复杂，故难以记住，虽有书籍记载，一代代地流传下来，但仍不免一代代地被忽视。
古中国之“内算”与“外算”以其深刻之意象结构与繁复之文言体系，使后世学者头痛万分。读者试想农历之历法结构，就能对这种头痛程度体会一二。在农历历法中，每年多少个月不固定，每个月多少天也不固定，每年的某个月是否总是大月或小月仍旧不固定。很难说它不科学，因为在很多地方它比科学还科学；也很难说它科学，因为它还有很多神秘之处。中国古代之数理天文学通常都是以分数形式选择历法中所涉及之天文学常数。由于这些常数基本上都是无理数，因此，历法家们不得不设计一些算法去逼近它们，以求找到尽量简单之分数。这一方法，现代数学称之为“实数之有理逼近”。曲安京认为，中国古代数理天文学中选择闰周之算法，实际上就是与连分数展开算法相等价之算法。
古中国之“内算”与“外算”，最令人神往且使人迷惘、最动人心弦且叫人不解的就是占卜、卜卦与算命、看相等玄学。现代科学由于无法解释这些理论，因此将之归为迷信。受过现代教育的学者往往不作深入研究，便接受此一论点。而普通百姓似乎要宽容得多，这或许是因为何为科学或何为迷信，对其而言并不重要，重要的是其是否能指导个人生活。
作者自己童年时，某个走江湖的算命先生来到村里摆摊。他对作者的奶奶说：“你家虽在村里，但风水不错，家里以后必出研究生。”其实那年作者仅约七八岁，根本不知道什么叫“研究生”，但由于我姐姐每年都要念叨这句话，不知不觉地便使我对读书充满了信心。此外，放牛被牛斗、砍柴被蜂蜇、农忙之劳累、父母面对农业税负时之叹息，都让我明白一件事：在那穷山沟里，在那年代，不好好读书，永不会有改变命运之可能。
很多人认为算命是一种心理作用，这或许有点道理。作者以为，此外也会产生一种内部品质与外部信息的交互作用。此后作者不间断地读书，直到从中国科大拿到基础数学专业之博士学位。作者读书之信念主要来自于教师家庭之影响，作者从小就喜欢教书，读小学时想教小学，读初中时想教初中，读高中时想教高中，读大学时想教大学，于是一直往上读。不过说起来，给了作者最初梦想的，还是那个走江湖的算命先生。因此，不管作者后来接触到多少科学，都对被科学斥为迷信之学说持保留态度。