从三角函数开始Ⅱ——傅里叶变换

2 傅里叶变换

积分变换是求解数学物理问题的重要工具。所谓积分变换就是把函数经过积分运算变换为另一类函数，一般表示为

其中，是一个参变量，是一个确定的二元函数，称为积分变换的核。傅里叶变换就是一种积分变换。

2.1 傅里叶变换的定义

上一章中我们将傅里叶级数推广为了傅里叶积分，而傅里叶积分又可以进一步扩展为傅里叶变换。这一扩展使得频谱范围由变成了。

考虑一个定义在区间上的函数。利用本系列上一篇文章的公式可以写出其傅里叶积分

上式中后一个积分可以改写

将结果代入式(2)，得

我们得到

为了让式子具有对称美，也可以写成

式(5)为傅里叶变换，记为；式(6)为傅里叶逆变换，记为。

2.2 傅里叶变换的性质

本节将给出一些傅里叶变换的性质。

2.2.1 线性变换

傅里叶变换是一种线性变换，即

这是一件非常直观的事情。我们前面的推导过程中涉及的运算均是线性的，因此得到了一种线性运算是意料之中的事情。

2.2.2 微分定理Ⅰ

本定理的证明可借助分部积分。

2.2.3 微分定理Ⅱ

以上两个微分定理其实说的是同一件事，注意到傅里叶变换与傅里叶逆变换表达式间的高度对称性便可理解这点。

2.2.5 位移定理

2.2.6 卷积定理

设函数和均定义在上，则它们的卷积定义为

则有

2.2.7 函数的傅里叶变换

2.2.8 高斯函数的傅里叶变换

高斯函数的傅里叶变换为

~都看到这里了不妨关注一下~