计算远场电势的小技巧

 多级展开(上)

如果远距离观察一个局域电荷分布，它可能表现得就像一个点电荷一样，即与势的偏差是一个小量。但是如果这个分布电荷总量为，那么项将不复存在，之前被我们忽视的小量反而变成了最大项。在研究这种问题时，有一个小技巧，那就是多级展开。

部分公式较长，请左右滑动图片查看。

1 多级展开

假设空间中有一电荷分布，处的电荷密度为。则处的电势可以表示为

记场点与体积元对原点的张角为，根据余弦定理

令

则由(2)式可以推出

代入得

整理可得

可以简记为

是一个关于的多项式。这个多项式叫做勒让德多项式。

将(6)式代入(1)式，即可得到

这就是所谓的多级展开。第一项称为单极子，之后依次为偶极子、四极子、八级子……这是一个用于近似计算的好办法。所取项数越多，计算结果越精确。

2 勒让德多项式

前面我们提到了勒让德多项式，它可以通过对展开得到，因此也被称为勒让德多项式的生成函数，这是获得勒让德多项式的一种方法。

另一种方法则是通过罗德里格公式

这里我们给出勒让德多项式的前几项

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