高数极限习题及答案.doc

练习题

1. 极限

(5) 已知,

求常数a, b.

(6) (7)

(8) (9)

(10)

2. 函数的连续性

(1) 确定b的值, 使函数

在x=0点连续.

(2) 确定a, b的值, 使函数

在整个实数轴上连续.

(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②

3. 连续函数的性质

(1) 设, 证明：有一个不大于1的正根.

(2) 若, 且, 证明:

内有界.

提高

1o内至少有一个最值存在.

2o 对于最值与A间的任意值C, 存在, 使得

.

2. 函数的连续性

(1) 确定b的值, 使函数

在x=0点连续.

解:

(2) 确定a, b的值, 使函数

在整个实数轴上连续.

解:

(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. = 1 \* GB3 ①

解: x=0为可去间断点. = 2 \* GB3 ②

解:, x=0为跳跃间断点.

3. 连续函数的性质

(1) 设, 证明：有一个不大于1的正根.

解: 若n=1, 则显然有解x=1.

若n>1, 则, 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..

(2) 若, 且, 证明:

内有界.

解: 由可知: , 当时, , 故

由可知, 故,当时,

取即可.

提高

1o内至少有一个最值存在.

2o 对于最值与A间的任意值C, 存在, 使得

.

证明: 若, 则显然结论成立.

设存在, 则存在X>0, 当时, 有

于是:

由, 可知存在

从而内有最大值.

对于任意的C, , 存在X1>0, 当时, 有

于是有 .

分别在闭区间上使用介值定理即可得结论2o.