七下第10讲 10题突破极易混淆的乘法公式(下)

写在前面

在整式乘法中，同学们最容易混淆的是完全平方公式和平方差公式，为此，在期中考试前，我们分两讲，分别对公式作一个认真的解读，防止再混淆！本讲重点是平方差公式．

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一、概念剖析

平方差公式：

(a＋b)(a－b)＝a²－b²

文字叙述：

两数之和与两数之差的乘积等于这两个数的平方差．

口诀：

同²－反²．

解读：

1、等式左边是两个二项式的积，其中有一项a完全相同，另一项b和－b互为相反数，

即一同一反．

2、等式右边是这两项的平方差．

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二、基本计算

例1： 下列能否用平方差公式进行计算，如能，写出结果． (1)(x－y)(x＋y) (2)(a＋b)(a－c) (3)(－m＋n)(－m－n) (4)(－a＋5)(a－5) (5)(2x²－y)(y＋2x²) 分析： 要用平方差公式计算，则必须关注等式左边的二项式乘积中，要满足一同一反．然后再利用公式，同²－反²． 解答：

例2： 计算 (1)(－2－5x)(－5x＋2) (2)(－2－5x)(5x－2) 分析： 与例1类似，找出相同的项是关键，我们在计算时可以先划出，不容易错． 解答：

例3： 根据平方差公式填空 分析： 根据口诀，同²－反²，就要关注等式右边谁是同²，从而根据左边已知的项，确定相同的项，进而得出相反的项． 解答：

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三、简便计算

例1： 100.2×99.8 分析： 本题中，100.2可以看作100＋0.2，99.8可以看作100－0.2，则可以利用平方差公式简算． 解答： 原式＝(100＋0.2)×(100－0.2) ＝100²－0.2² ＝10000－0.04 ＝9999.96

变式： 2016²－2017×2015 分析： 本题与例1如出一辙，但需要注意的是，写成同2－反2后，去括号要变号． 解答： 原式＝2016²－(2016＋1)×(2016－1) ＝2016²－(2016²－1) ＝1

例2： 分析： 要用平方差公式，必然写成(a＋b)(a－b)形式，而这里没有，就需要添上，每两项的积运用公式计算． 解答：

变式： 分析： 本题类似例2，但添了(3－1)后，相当于整个式子扩大了2倍，因此还要再除以2． 解答：

例3： (x＋ay)(x－ay)＝x²－16y²，a＝______． 分析： 本题看似简单，实则很容易出错，很多同学脱口而出，4．但别忘了，应为两解． 解答： ±4

变式： (2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，求a＋b的值． 分析： 本题与例3如出一辙，利用平方差公式计算，得到2a＋2b整体的平方的值，再算a＋b的值，同样需要两解． 解答： (2a＋2b)²－1＝63， 2a＋2b＝±8，a＋b＝±4．

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四、复杂运算

例1： 分析： 如果我们把2x＋3看作a，2x－3看作b，则问题可转化为求a²b²的值，这时可以想到先逆用积的乘方法则，把它转化为(ab)²，则根据一同一反再用平方差公式，最后用完全平方公式． 解答：

变式： 分析： 本题与上例类似，注意用平方差公式时，相同项是－2n，当然也可先换底． 解答：

例2： (x＋y－4)(x－y－4) 分析： 本题中，每个括号内有三项，我们找到其中相同的项作整体，相反的项作整体，即可用平方差公式，最后依然需要完全平方公式． 解答： 原式＝(x＋y－4)(x－y－4) ＝(x－4)²－y² ＝x²－8x＋16－y²

变式： (3a＋b－2)(3a－b＋2) 分析： 本题如法炮制，但需要注意的是，b－2与－b＋2整体互为相反数，体现一同一反时，需要加上括号． 解答： 原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)] ＝(3a)²－(b－2)² ＝9a²－(b²－4b＋4) ＝9a²－b²＋4b－4

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五、逆向运算

例1： 76²－24² 分析： 本题很多同学做的很烦，但是我们关注到所求问题是一个平方差的形式，那么可以想到逆用平方差公式． 解答： 原式＝(76＋24)×(76－24) ＝100×52＝5200

变式： (2x＋3)²－(2x－3)² 分析： 千万注意，本题与复杂运算的例1是不一样的，本题中间有一个减号，差距很大．应该逆用平方差公式计算，当然，将两个完全平方公式展开做也可． 解答： 原式＝[(2x＋3)＋(2x－3)]·[(2x＋3)－(2x－3)] ＝4x·6 ＝24x

例2： a－2b＝1，求a²－4b²－4b的值. 分析： 显然，本题无法求出a和b的值，必然只能利用整体思想，联想到a²－4b²是平方差形式，则逆用之． 解答：

上讲思考题答案