与垂径定理相关的压轴题(燕尾及半角模型)

2015-2020上海中考“圆”几何证明题考点及分值分布
年份
题型
     考点
 分值
15 综合25

25-1同圆的半径相等+全等三角形的判定;

25-2相似三角形的判定+相似三角形的性质;

25-3直角三角形的存在性

14
16

证明23

23-1垂径定理+全等三角形的判定、性质

23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定

12
17 综合25

25-1同圆的半径相等+A.A判定三角形相似

25-2直角三角形的存在性+特殊角

25-3比例中项

14
18 综合25

25-1垂径定理+四者关系

25-2锐角三角比+构造平行线

25-3圆与正多边形、中心角

14
19 证明23

23-1全等三角形的判定、性质

23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定

12
20 证明23

25-1垂径定理+等腰三角形的三线合一

25-2等腰三角形的存在性问题

25-3构造平行线+勾股定理

14
从考点分布来看,上海中考中与圆相关的几何证明,其考点主要围绕着垂径定理和相似三角形、全等三角形、勾股定理、锐角三角比展开,同时涵盖了分类讨论思想,综合性较强。
2015-2020上海中考“圆”几何证明背景图形
垂径定理背景下的压轴题
解法分析:本题的背景虽然是圆,但是提供的条件为AD=AE=1,后续问题的解决不需要依托圆背景进行了。第1问虽然考察了相似三角形的存在性,但是根据∠B=30°,得到∠A=60°,继而得到▲BDP是一个底角为30°的等腰三角形,那么相似的情况也只有AE=EP这一种情况,再根据∠P=30°,得到CE的长度;第2问考察了∠BPD的正切值,但是∠BPD已经在Rt▲CEP中,因此求CP的长度是关键。首先在Rt▲ACB中利用勾股定理得到AB、BC的长度,再根据图形“燕尾三角形”的特点,添加相应的平行线,利用2次基本图形(A/X型),得到CE的长度;第3问求▲ABC的周长,但是已知了CE=1+x,因此落脚点就在于如何求∠A的三角比,继而用含x的代数式求得AB、BC的长度。
特别的,过点A作AQ⊥DE,此时∠DAQ=∠P,而∠P恰好是53°角的半角,可以快速得到tan∠BPD=1/2.
解法分析:本题的图形是典型的“燕尾三角形”,因此许多问题的解决围绕着添平行线构造A或X型基本图形。第1问通过作平行线得到OE:CE的值,也可以发现E为▲ABC的重心,那么问题的解决迎刃而解;本题的第2问通过联结OM后,利用射影定理得到EM和CM的长度,继而得到∠ABC的正弦值;本题的第3问的探究一的背景是“558”的等腰三角形,充分利用角之间的关系,同时还是作平行线构造A型基本图形,建立y和x的函数关系式;探究二在探究一的基础上,可以得到H为DF中点,同样将问题进行化解。
垂径定理与燕尾三角形模型的综合应用

相关链接:2021一模奉贤25题

解法分析:本题将垂径定理和圆中的位置关系相结合进行综合考察。第1问考察了直线与圆的相切,构造了直角三角形,利用sinB可以求出半径;第2问考察半角三角形、垂径定理和锐角三角比的综合应用,继而建立y关于x的函数关系式;第3问中可得圆心O为EC与BC垂直平分线的交点,即直线AN与PQ的交点,利用三角比得到PN的长度,继而得到BP→BD→AD的长度。
半角三角形模型:常见30°、45°、37°、53°的半角模型
相关链接:2021金山一模25题
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