在沪教版八年级下册课本100页中的一道习题的背景是梯形，其中涉及了丰富的几何元素：角平分线和中点，其中渗透了常见的与中点和角平分线相关的添线方法。当题设和结论进行相应的变化后，仍然成立，本文就来具体探究下这道题的解法特点，并进行相应的变式进行探究。
课本中的这道例题利用点E是AB中点，并且满足CD=AD+BC，通过构造中位线，利用了平行线和等腰三角形的性质得到了DE⊥EC、DE平分∠ADC及CE平分∠BCD.本题的突破口在于E是AB中点，那么本题可否倍长中线进行证明呢？
通过倍长中线，利用全等三角形的性质以及等腰三角形的三线合一，可以得到DE⊥EC、DE平分∠ADC及CE平分∠BCD，本题可以向下倍长(图1)或向上倍长(图2)。
分析：和例题相比较，这是题设“CD=AD+BC"和结论"DE平分∠ADC”互换了，但是证明方法是否可以延用呢？本题中除了中点的特点，还可以利用角平分线的性质添加辅助线。
证法1：构造梯形的中位线，利用平行线及等腰三角形的性质证明。
证法2：倍长中线，利用平行线和角平分线以及全等三角形的性质得证。值得注意的是，已知条件中是DE平分∠ADC，因此延长CE、DA交于点H，此时构造了等腰三角形DGC；若已知条件是CE平分∠BCD，则延长DE、CB交于一点，根据角平分线位置进行倍长中线构造等腰三角形。
证法3：利用角平分线的性质做垂线，利用角平分线的性质定理以及全等三角形的性质定理证明，证明的过程比较麻烦，要利用三次全等进行证明。
若E为AB边上任意一点，只能利用倍长中线的方法来证明CD=AD+BC，此时构造中位线及做垂线的的方法就略显局限性了。
分析：由于要证明E为AB中点，因此仍旧可以通过延长DA、CE交于点H，利用CD=AD+BC，构造全等三角形。本题中不能通过构造中位线法或做垂线法证明。
当本题中的条件改为“ABCD为梯形，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD”时，可以利用角平分的性质定理直接得到E为AB中点。
由此，我们可以推断出：对于梯形ABCD，AD//BC中，当①DE平分∠ADC（CE平分∠BCD）；②E为AB中点；③CD=AD+BC中的任意2个为条件可以推出另一条结论。添线的方法可以构造中位线、倍长中线、向角的两边作垂线等，根据条件的不同，方法各有不同，但是倍长中线法是通法，其他两种方法有其一定的局限性。
