（新课程）深圳·初中数学压轴题知识点——反比例问题经典例题
前言 PREFACE
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实操真题讲解
1．（2018·深圳）如图，A、B是函数y＝12/x上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（ ）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】
由点P是动点，进而判断出①错误，设出点P的坐标，进而得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形OMPN＝4，进而得出mn＝4，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m，12/m），
∴BP＝|12/m﹣n|，
∴S△BOP＝1/2|12/m﹣n|×m＝1/2|12﹣mn|
∵PA∥x轴，
∴A（12/n，n），
∴AP＝|12/n﹣m|，
∴S△AOP＝1/2|12/n﹣m|×n＝1/2|12﹣mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，故②正确；
如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，
∴S△AOP＝1/2OA×PF，S△BOP＝1/2OB×PE，
∵S△AOP＝S△BOP，
∴OB×PE＝OA×PF，
∵OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图1，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y＝12/x上，
∴S△AMO＝S△BNO＝6，
∵S△BOP＝4，
∴S△PMO＝S△PNO＝2，
∴S矩形OMPN＝4，
∴mn＝4，
∴m＝4/n，
∴BP＝|12/m﹣n|＝|3n﹣n|＝2|n|，AP＝|12/n﹣m|＝8/丨n丨，
∴S△APB＝1/2AP×BP＝1/2×2|n|×8/丨n丨＝8，故④错误；
∴正确的有②③，
故选：B．
【点评】
此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
2．（2016·深圳）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y＝k/x（x＜0）的图象上，则k的值为 4√3 ．
【分析】
根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出∠BAO＝∠AOF＝∠AFO＝∠OAF，进而求出D点坐标，进而得出k的值．
【解答】
解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，
由题意可得：∠BAO＝∠OAF，AO＝AF，AB∥OC，
则∠BAO＝∠AOF＝∠AFO＝∠OAF，
故∠AOF＝60°＝∠DOM，
∵OD＝AD﹣OA＝AB﹣OA＝6﹣2＝4，
∴MO＝2，MD＝2√3，
∴D（﹣2，﹣2√3），
∴k＝﹣2×（﹣2√3）＝4√3．
故答案为：4√3，
【点评】
此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D点坐标是解题关键．
3．（2019·深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝k/x图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝ (4√7)/7 ．
【分析】
要求k的值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C（0，﹣3）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．
【解答】
解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
∴AE/CO=DE/OD=AD/CD=1/3，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE～△DCO，
∴AE/OD=BE/OC
设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴1/3n=7n/3，
∴n＝√7/7
∴OE＝4n＝(4√7)/7
∴A（(4√7)/7，1）
∴k＝(4√7)/7×1=(4√7)/7．
故答案为：(4√7)/7．
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．
4．（2020·深圳）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝ ﹣2 ．
【分析】
连接OB，AC，根据O，B的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【解答】
解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP＝CP，OP＝BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标（1/2，1），
∵A（3，1），
∴C的坐标为（﹣2，1），
∵反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象经过点C，
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键．
5．（2017·深圳）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝m/x（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式和反比例函数y＝m/x（x＞0）的表达式；
（2）求证：AD＝BC．
【分析】
（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：（1）将点A（2，4）代入y＝m/x中，得，m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝8/x，
将点B（a，1）代入y＝8/x中，得，a＝8，
∴B（8，1），
将点A（2，4），B（8，1）代入y＝kx+b中，得(8k+b=1,2k+b=4)，
∴k=-1/2,b=5，
∴一次函数解析式为y＝﹣1/2x+5；
（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣1/2x+5，
∴C（10，0），D（0，5），
如图，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∵点A（2，4），B（8，1）
∴E（0，4），F（8，0），
∴AE＝2，DE＝1，BF＝1，CF＝2，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD＝√AE²+√DE²＝√5，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC＝√CF²+√BF²=√5，
∴AD＝BC．
【点评】
此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形．