吃货眼中的数学
自从上学以来，我的生日总是会在期末考试之后暑假之前，所以我总能够在班里和大家一起吃生日蛋糕。
2019年6月28日是我10岁的生日，这一天，妈妈又一次带着一个双层的奶油蛋糕来到了我们班。
许下一个小小的心愿，美丽的樊老师亲自为我们分着蛋糕，我端着小托盘把每一块蛋糕送到老师和同学们的手中，可是，不一会儿，我就遭到了同学们的狂轰滥炸：
“我这块全是硬皮，没有奶油，再来一块！”
“我这块儿全是奶油，不吃奶油，要巧克力！”
“不公平不公平，她的巧克力比我多！”
“我要熊大那块！”
“我要光头强！”
“我还要再吃一块！”
各种声音此起彼伏……
我万万没有想到，已经尽量把蛋糕平均分给每个人还是没有让大家满意，这时候可真是进退两难哪！
晚上回到家里，我的脑子依然被分蛋糕的一幕占据，究竟怎么分蛋糕才会让大家都满意呢？有没有什么好的方法呢？
妈妈笑着说，把蛋糕平均分是几何问题，但是要把蛋糕分的大家都满意可就属于博弈论范畴了。
博弈？我的兴趣又来了，之前的悖论和混沌都没有难倒我，这次，我也不会认输！
拿出一张草稿纸，我画了一个圆圆的蛋糕，再用线条把它小心翼翼地分成相等的几块，我想：如果参与分蛋糕的人是N个，蛋糕就应该分成N份，把要分的蛋糕数量设为N， N个人都满意的分配办法会是怎样的呢？
1、如果N=2, 应该是最简单的，比如蛋糕是我和妈妈两个人分，一个人切，一个人选就可以了，两个人的满意是比较容易的；
2、如果N=3，这样会复杂一点。
如果我和爸爸、妈妈三个人分，我可以先把蛋糕分成差不多相等的三块，然后爸爸妈妈来选择，他们可以去拿自己能接受的那一块儿。如果这样分大家应该都能满意，再说，爸爸妈妈一定会让着我的。
如果不是我和爸爸妈妈，而是和我的朋友分蛋糕，而且他们和我一样都想要自己认为最大的蛋糕，这该怎么办呢? 对，参考1943 年胡戈·施泰因豪斯提出的三人分配法。
第一步，我把蛋糕切成基本等值的三块。
第二步，两个朋友比较一下这三块蛋糕，基本有以下两种选择:
如果朋友1认为至少有两块可接受的蛋糕，那就先不拿，按朋友2、朋友1、我的顺序选蛋糕;
如果朋友1有两块不能接受，就把这两块标为“差”。
第三步，如果朋友1将两块标为“差”，那么此时朋友2也有两个选择：先不拿或者将两块标为“差”。如果朋友2也决定先不拿，那就按照朋友1、朋友2、我的顺序选蛋糕。
第四步，如果朋友1和朋友2都选择做标记，那我就要必须拿同时被他们标为“差”的那一块(或两块之一)。
第五步，此时还剩下两块蛋糕，两位朋友就可以用N=2的办法来重新分蛋糕：朋友2把两块蛋糕合成一体，再切成自认为等值的两块，朋友1从中选1块，剩下那块归朋友2。
如果我们大家都是理性的，每个人拿到的那块蛋糕都将是可接受的选择。我是最后选的那个人，所以在一开始切的时候就要尽量均衡。第二步时，朋友1在保证能拿到可接受选择的情况下，才会决定先不拿。如果他选择做标记，那无论朋友2怎么选择，他最后都能拿到可接受的蛋糕。总之，按照这种方法，每个人都满意。
3、如果N>3，即N=4、5……像下午班里的情况上面这样的分法就不可能行得通了，因为我们一共有40个人一起分蛋糕，这样分肯定不会让每个人都满意。那么，有没有一种数学的办法能够解决这个难题呢？
咦！我是不是可以用巴拿赫和克纳斯特在 1944 年提出的分配法来分，这样应该能保证分配公平：
首先把所有人编上号，从1到N编号。
第一步，1从蛋糕中切出自认为价值1/N的一块， 我们称之为P。
第二步，2有两种选择：
如果他认为这块不可接受，就什么都不做；
如果他觉得可接受，就把P再切小一点，但依然保持可接受的状态，即其价值对2来说至少是1/N。
第三步到第N步，其他所有人，即从3到N。都做出同样的选择——要么什么都不做，要么把P再切小一点，这样P会越来越小，最后一个选择切小的人可以把它拿走，然后回到第一步：把剩下的蛋糕合在一起，剩下的N-1人人重复以上过程，直到最后剩下2人，用N=2的办法即可。
最后，每个人都能得到自认为价值1/N 的蛋糕，因为那是自己切的。当然，每人一刀，蛋糕最后会不会被切成一堆渣渣，那就说不好了……
不过，这种情况会使得分蛋糕现场变得混乱，所以，一般情况下，只能由一个人来切蛋糕，否则就会像上面的情况那样，每人一刀把蛋糕变成渣渣。
1961年，杜宾斯和斯帕尼尔提出了一种分配法，切蛋糕的只有一个人，而且能保证每人拿到的都是1/N。这种方法不是一步一步进行的，即“离散”方法，而是所有人同时进行选择，即“连续”方法。
我拿刀在蛋糕上慢慢划过，如果有人觉得够了(可接受)，就喊停，我就把这块切给他，剩下的人继续。一直到最后剩下两个人。再用N=2的办法分就可以了。
提醒一下，采用这种方法可不能贪心，不然该轮到你的那块就要被别人拿走了。
有了这些方法，我相信不管有多少朋友，不管是什么蛋糕，都能公平分配。
4、如果大家有特殊需求又该怎么分呢？
这个时候，大家在乎的不是公平不公平，他们只想着自己的那块不能比别人小！同时自己的需求还要被满足。
这不再是公平分配的问题，不是要让每块都大于等于 1/N，而是要让大家都觉得自己没吃亏，都能拿到自认是最好的那块。两人分法肯定没问题，但施泰因豪斯的三人分法就表现出不足了，幸好有塞尔弗里奇-康威法（塞尔弗里奇于1960年发现了这一方法但未发表，20世纪90年代由康威再次提出）能够弥补其中的不足……
想了解这个新方法吗？等明年6月28日，大家都有特殊需求的时候，我一定会介绍给大家！