神奇數字與直角三角形內接正方形之關係
神奇數字與直角三角形內接正方形之關係
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：142857被稱為“神奇數字”，其輪換循環性質，乃其他數字組所無者也。若一直角三角形兩直角邊之和為 7，其積為 1 至 7，則 1/7至1 可以以其內接正方形之邊長表示。
關鍵詞：輪換循環、神奇數字、循環節、循環小數
第 1 節 以 7 為分母之真分數及其循環小數
很多人都知道以 7 為分母之真分數可化成循環小數如下：
= 0.142857 142857 142857... 循環節：142857
= 0.285714 285714 285714... 循環節：285714
= 0.428571 428571 428571... 循環節：428571
= 0.571428 571428 571428... 循環節：571428
= 0.714285 714285 714285... 循環節：714285
= 0.857142 857142 857142... 循環節：857142
寫成乘法：
1 ×
=
= 0.142857 ... 循環節：1× 142857 = 142857
2 ×
=
= 0.285714 ... 循環節：2× 142857 = 285714
3 ×
=
= 0.428571... 循環節：3× 142857 = 428571
4 ×
=
= 0.571428... 循環節：4× 142857 = 571428
5 ×
=
= 0.714285... 循環節：5× 142857 = 714285
6 ×
=
= 0.857142... 循環節：6× 142857 = 857142
7 ×
=
= 1 = 0.999999… 循環節：7 × 142857 = 999999
從最後一式可知 0.9 循環小數 = 1，此証明非常獨特。
現代有人稱
之循環節142857 為“神奇數字”，無論如何，其輪換循環性質，乃其他數字組所無。
將上列之分數重排列一次如下：
= 0.142857 142857 142857... 循環節 1 置後得：
= 0.428571 428571 428571... 循環節 4 置後得：
= 0.285714 285714 285714... 循環節 2 置後得：
= 0.857142 857142 857142... 循環節 8 置後得：
= 0.571428 571428 571428... 循環節 5 置後得：
= 0.714285 714285 714285... 循環節 7 置後得
。
注意分子之次序：1、3、2、6、4、5，則循環節輪換。
以下為分子循環節圖：
有圈之數目字是為分子，例如 1，指
，則其循環節依逆時針方向為 142857；3，指
，則其循環節依逆時針方向為 428571；2，指
，則其循環節為 285714，其餘類推。
第 2 節 以 7 為分母之真分數及其循環小數
(1)
設有一分數
，若 ab = 1，a + b = 7，則
=
= 0.142857…，見上節。
即可知 b = 7 – a，代入 ab = 1 得 a(7 – a) = 1，7a– a2 = 1，a2 –7a + 1 = 0，依公式解 a 得：
a =
(7 – √(49 – 4) =
(7 – √45)，即可得 b =
(7 + √45)。
a 與 b 是為共軛無理數。以下 a 與 b 之值多為此類數。
(2)
若 ab = 2，a + b = 7，則
=
= 0.285714...，
b = 7 – a，
代入 ab = 2 得 a(7 – a) = 2，7a– a2 = 2，a2 –7a + 2 = 0，依公式解得：
a =
(7 – √(49 – 8) =
(7 – √41)，即可得 b =
(7 + √41)。
(3)
若 ab = 3，a + b = 7，則
=
= 0.428571...，
b = 7 – a，
代入 ab = 3 得 a(7 – a) = 3，7a– a2 = 3，a2 –7a + 3 = 0，依公式解得：
a =
(7 – √(49 – 12) =
(7 – √37)，即可得 b =
(7 + √37)。
(4)
若 ab = 4，a + b = 7，則
=
= 0.571428...，
b = 7 – a，
代入 ab = 4 得 a(7 – a) = 4，7a– a2 = 4，a2 –7a + 4 = 0，依公式解得：
a =
(7 – √(49 – 16) =
(7 – √33)，即可得 b =
(7 + √33)。
(5)
若 ab = 5，a + b = 7，則
=
= 0.714285...，
b = 7 – a，
代入 ab = 5 得 a(7 – a) = 5，7a– a2 = 5，a2 –7a + 5 = 0，依公式解得：
a =
(7 – √(49 – 20) =
(7 – √29)，即可得 b =
(7 + √29)。
(6)
若 ab = 6，a + b = 7，則
=
= 0.857142...，
b = 7 – a，
代入 ab = 6 得 a(7 – a) = 6，7a– a2 = 6，a2 –7a + 6 = 0，依公式解得：
a =
(7 – √(49 – 24) =
(7 – √25) =
(7 – 5) = 1，
即可得 b =
(7 + √25) =
(7 + 5) = 6。
本例之 a 與 b 皆為整數。
(7)
若 ab = 7，a + b = 7，則
=
=1 = 0.999999…，
b = 7 – a，
代入 ab = 7 得 a(7 – a) = 7，7a– a2 = 7，a2 –7a + 7 = 0，依公式解得：
a =
(7 – √(49 – 28) =
(7 – √21)，即可得 b =
(7 + √21)。
以下為一般情況：
設有一分數
，若 ab = x，x 為整數。又a + b = 7，則
=
，
即 b = 7 – a，
代入 ab = x 得 a(7 – a) = x，7a– a2 = x，a2 – 7a + x = 0，依公式解得：
a =
[7 – √(49 – 4x)] ，即可得 b =
[7 + √(49 – 4x)]。
若 a 與 b 為實數，則 49 – 4x >0，49 > 4x，x ≦12。
若 x = 12，則 a =
[7 – √(49 – 4 × 12)] =
× (7 – 1) = 3；
b =
[7 + √(49 – 4 × 12)] =
× (7 + 1) = 4。
若 ab = 12，則 a 與 b 亦為整數。
第 3 節 以直角邊和為7 之直角Δ及其內容正方形
設一直角三角形ABC，CA =a，CB = b，EFGC 為其內接正方形﹝見下圖﹞，設 x為正方形之一邊，於是 GA= a – x ，BE = b – x ，據相似三角形對應邊之比相等，可得：
=
，即：
=
(a – x)(b – x) = x2
ab – ax– bx + x2 = x2
ab = x(a+ b)
x =
，此即內接正方形一邊之長。
若以作圖法求正方形之一邊，以a與b之長分別為一直角三角之句與股，即a = AC，b = BC，ÐC為直角，自ÐC畫一角平分線CF交弦AB於F，即ÐFCA為45o。自F畫一垂直線GF垂直 AC或一平行線EF平行AC，則EF或FG即為所求之正方形之一邊，如下圖所示﹝EFGC 即為所求之正方形﹞。
或先作一任意正方形PQRC，連其對角線CQ及延長至 F，依上述方法作垂直線GF及作平行線EF，即可得內接正方形EFGC。
以下為直角三角形之內接正方形圖：
若一直角三角形兩直角邊之和為 7，其積為 1 至 7，則
至 1 可以以其內接正方形之邊長表示。
(1) 邊長為
之內接正方形：
(2) 邊長為
之內接正方形：
(3) 邊長為
之內接正方形：
(4) 邊長為
之內接正方形：
(5) 邊長為
之內接正方形：
(6) 邊長為
之內接正方形：
(7) 邊長為
= 1 之內接正方形：
從以上各圖可知，以線段為
至 1 為邊之正方形而能內接一直角三角形者可以以上述作圖法作出，例如要作以
為邊之正方形而能內接一直角三角形者，則可取直角三角形之兩直角邊分別為
(7 – √45) 及
(7 + √45) ，作其內接正方形，則正方形之邊長為
。
較易說明之例為以 1 為勾，以6 為股，在此直角三角形內作一正方形，則此正方形之邊長為
﹝見前圖﹞。
從上節可知，ab 之最大值為12，而 a 與 b 分別為 3 與 4，即勾 3股 4 弦 5 之正直角三角形，其內接正方形之邊長為
，即 1
。
以下之
介於
與
之間：
|
ab |
a + b |
a |
b |
|
小數 |
|
8 |
7 |
(7 – √17) |
(7 + √17) |
|
1.142857… |
|
9 |
7 |
(7 – √13) |
(7 + √13) |
|
1.285714 ... |
|
6 |
7 |
(7 – √9) = 2 |
(7 + √9) = 5 |
|
1.428571... |
|
11 |
7 |
(7 – √5) |
(7 + √5) |
|
1.571428... |
|
12 |
7 |
(7 – √1) = 3 |
(7 + √1) = 4 |
|
1.714285... |
從上表可知，當ab = 10 及 = 12 時，則 a 與 b 為整數。