2021第二届伊朗组合奥林匹克 第一试 中文翻译

第一试

1.在平面上至多可以放置多少个点，使得对其中任意一部分点，一定可以画一个对边平行于坐标轴的矩形, 使得这部分被放置的点在矩形内, 其他被放置的点在矩形外?

2.有一个为期天的象棋比赛, 每天只下一局棋,每局棋有两名棋手参加. 已知每局棋的胜利者至多休息天就会有比赛, 每局棋的失败者至多休息天就会有比赛. 求参赛者个数的最小值.

3.有一个由35个人组成的人群, 其中每个人要么是只说真话的正派人, 要么是只说假话的骗子. 对任意, 第个人说过: 这群人中的正派人的个数为的因数. 求正派人个数的所有可能值的个数.

4.在一个 网格表中的个单元格中各填入一个互异的数字, 使得对任意一个单元格, 其中的数字至多比一个与之有公共顶点的单元格中的数字大. 求的最大值.

5.用的骨牌覆盖下图的网格表, 使得所有骨牌水平或垂直放置, 没有重叠, 且覆盖满整个网格表, 有多少种方法?

6.在网格表的每个单元格中填入数字 或 . 求的最大值, 使得网格表中恰有行和为正数, 且恰有列和为负数.

7.一些数学家参加一个组合竞赛, 每个数学家都掌握了若干种语言, 他们一共掌握了种语言. 已知参会的任意两个数学家甲乙都可以找到一个参会的数学家丙, 使得甲丙可以用某种语言直接交谈, 乙丙也可以用某种语言直接交谈. 且如果任意一个数学家离开会议, 则上述事实不再成立. 求的最小值.

8.圆周上有个男孩, 站成一个正边形.已知其中有个为实诚人, 即永远只说真话, 其他的人是不实诚的,有可能说真话有可能说假话. 其中一个人, X先生, 口袋里有一颗钻石. 我们可以询问每个男孩他与X先生的距离, 且每个男孩必须回答. 求的最小值, 使得我们询问完所有男孩之后, 一定可以确定X先生的位置.

9.给定五个顶点组成的一个完全图. 每个顶点编号分别为. 现在用三种颜色将所有边染色, 使得每个顶点所连的边中, 每种颜色的边都至少有一条. 求染色方案的个数.

10.用若干的马赛克覆盖一个的网格表, 使得所有网格都被覆盖, 马赛克之间互不重叠, 也没有凸出到网格表之外. 所有马赛克可以水平或者竖直放置, 其中竖直放置的马赛克个数为. 求的可能值的个数.

11.圆周上有个点, 编号分别为. 在一小段弧上, 有一些点与编号为的点之间有额外的路径相连, 如图所示. 求从点到点的路径的个数.

12.黑板上写有个实数(不一定互异).  若我们将这个数划分为组有三个数构成的数组, 则无论如何划分, 其中一定有两个组的总和相等. 求黑板上互异的实数个数的最大值.

13.已知个由数字到组成的三位数满足, 对其中任意两个形如和的三位数, 一定存在下标, 使得. 求的最大值.

14.若整点 满足 均为正整数, 且 , , 就称这个点是"好点". 已知平面上有个斜率为的直线, 使得任意一个"好点", 必在其中一条直线上. 求的最小值.

15.在的国际象棋棋盘上放置个象, 使得其中任意一个象至多可以攻击到三个象, 求的最大值.
注: 象的走法按国际象棋.即它可以攻击任意一个跟他共斜线的棋子, 如果其间没有其他棋子的话.