列举出全部不同的金额数，还真不容易（不同难度，适合1年级到大人）

【题记】
当今教学问题在于：重知识传授及知识点重复机械训练，轻学习方法能力培养；重答题技巧训练，轻思维培养；重学科逻辑，忽视学习逻辑；重书本知识，轻社会实践（如劳动实践、社会调查等）。
数学素养的培养、特别是创新人才的培养是“悟”出来的而不是“教”出来的。——史宁中
周末，一位热心的孩子家长，在微信上给我发来一道数学趣味题：

用50元、20元、10元、5元、1元的纸币各一张，能付出多少种不同的金额？

家长说：孩子列举的也不少了，就是不知有没有写全？如果用排列组合的计算公式（本题列式是：

）来讲，孩子也看不懂啊，该怎么办呢？

我粗看了一下这道题，就知道确实不容易。这家这么优秀的孩子都不能彻底理解弄懂，如果其他家庭的孩子遇上了，就更难说了。
现在我思考的的问题是——

怎么才能让中低年级的孩子也理解与解答这道题呢？

我们不妨用“以退为进”的方式来进行指导。
现在就从最简单的算题开始。
【思维进阶一】
用5元、10元的纸币各一张，能够付出几种不同的金额？
【思路与解答】
这个比较简单，一年级孩子就能作答。但要注意的是，从小就要培养学生的有序思维的习惯。
先想，如果每次拿一张不同面值的纸币，有2种情形：5，10；
再想，如果每次拿两张不同面值的纸币，有1种情形：5+10=15；
这样，一共可以付出（2+1=）3种不同的金额。
【思维进阶二】
用5元、10元、20元的纸币各一张，能够付出几种不同的金额？
【思路与解答】
思路和上面一样，还是要有顺序地进行思考：
（1）如果每次拿一张不同面值的纸币，有3种情形：5，10，20；
（2）如果每次拿两张不同面值的纸币，有3种情形：5+10=15，5+20=25，10+20=30；
（3）如果每次拿三张不同面值的纸币，有1种情形：5+10+20=35；
这样，一共可以付出（3+3+1=）7种不同的金额。
【思维进阶三】
用1元、5元、10元、20元的纸币各一张，能够付出几种不同的金额？
【思路与解答】
继续按一定的顺序来思考问题，但是因为种类多了，特别要防止重复或遗漏。为了防止重复或遗漏，可以把上面的数字写成一排，进行划线、记号或图示，以保证不重复，不遗漏。
（1）如果每次拿一张不同面值的纸币，有4种情形：1，5，10，20；
（2）如果每次拿两张不同面值的纸币，有6种情形：1+5=6，1+10=16，1+20=21，5+10=15，5+20=25，10+20=30（如下图所示）；
（3）如果每次拿三张不同面值的纸币，有4种情形：1+5+10=16，1+5+20=26，1+10+20=31，5+10+20=35；
（4）如果每次拿四张不同面值的纸币，有1种情形：1+5+10+20=36；
这样，一共可以付出（4+6+4+1=）15种不同的金额。
最后我们来挑战本文开始的那道题。 
【思维进阶四】
用1元、5元、10元、20元、50元的纸币各一张，能够付出几种不同的金额？
【思路与解答】
继续按一定的顺序来思考问题，但是因为种类更多，更要防止重复或遗漏。为了防止重复或遗漏，可以把上面的数字简单成五个字母A、B、C、D、E或1、2、3、4、5五个数字，先把种类弄清楚，再到金额里去。现尝试解答如下（以A、B、C、D为例）：
（1）如果每次拿一张不同面值的纸币，有5种情形：A，B，C，D、E；
（2）如果每次拿两张不同面值的纸币，有10种情形：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE；
（3）如果每次拿三张不同面值的纸币，有10种情形：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，CDE；
（4）如果每次拿四张不同面值的纸币，有5种情形：ABCD，ABCE，ABDE，ACDE，BCDE；
（5）如果每次拿五张不同面值的纸币，有1种情形：ABCDE；
这样，一共可以付出（5+10+10+5+1=）31种不同的金额。
最后请同学们把刚才字母的地方换成人民币的面值就可以了。
【越探究越好玩】
同学们，是不是觉得至此结束了呢？千万不要！
我曾在数学学习中，推荐“学好数学三句话”，在这里温习一下：
1.疑难问题不放过（静下来，随时记下当下的疑问，以及对疑问的猜想与探索）；
2.举一反三找规律（慢下来，通过举例子找到规律，然后运用规律解决新问题）；
3.回顾反思常总结（停下来，回顾、反思学习过程，总结方法与规律并写下来）。
你能从上面的四个挑战中找到规律吗？
先别急着看下面的答案……
现在可以看答案
怎么样，好玩吧。
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