直角三角形的性质及判定

◎直角三角形定义： 

有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

◎直角三角形性质：

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：（勾股定理）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即

，如图：

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．如图，若∠B=90°，则∠A+∠C=90°

性质3：（直角三角形斜边中线定理）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外 心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2），如图

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即AD×BC=AC×AB．如图

性质5:（映射定理 又称 欧几里德定理）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD)²=BD·DC。
（2）（AB)²=BD·BC。
（3）（AC)²=CD·BC。

性质6：含30°的直角三角形三边之比为

，如图

该性质还可表述为：

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

性质7:如图，

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

性质10：含45°角的直角三角形三边之比为

性质11：直角三角形垂心位于直角顶点．

性质12：直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，即r＝a+b-c/2

性质13：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项．

性质14：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项．由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比．

◎直角三角形的判定方法：

判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足

，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

◎ 直角三角形的性质及判定的教学目标

1、进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；
2、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题；
3、体验探究直角三角形性质和判定的过程，培养动手、动脑的能力。

◎ 直角三角形的性质及判定的考试要求

能力要求：理解
课时要求：40
考试频率：常考
分值比重：3