你知道a b=b a该如何证明吗？方法可能没有你想象的那么简单

（作者：刘岳老师）

据说在广大数学系同学的教材中，证明题被分为了两大类：

（1）这t（题）m（目）也用证？

（2）这t（题）m（目）也能证？

而今天的问题，可能还要特殊一点，你可以说它属于第一类，若是归属于第二类好像也毫无违和感，是的，说的就是我们小学就知道的加法交换律：a+b=b+a。

一、这tm也用证？

当然，它又不是公理，况且，并不是每一种运算都满足交换律，比如减法就不行，a-b和b-a并不是总相等的，a÷b和b÷a往往也是两回事，解释这一点很简单，对于a+b而言，其中的a和b都叫做加数，但是对于a-b，一个叫减数，一个叫被减数，当然不能随意交换。

接下来关于这个等式的证明，或许我们会有一些这样那样的想法，比如，通过移项两边加加减减。

当然不可能这么简单了。

做证明题一定要清楚一点，我们有什么？

对这个问题无从下手的一个主要因素就是，这题没给条件啊！其实也不是没给，是默认我们都知道了，比如

（1）什么是a、b（这里代指自然数）；

（2）什么叫加法。

我们确实知道，只不过我们熟悉的并不能解决这个问题。

什么叫自然数？

像0、1、2、3……这样的数叫自然数，这是我们小学就知道的定义，这个定义能帮助孩子们理解、辨别自然数，至于严谨不严谨的，这不在小学考虑的范畴。

但对于我们这个问题，什么叫自然数就很重要了。

对于一些数学基础定义，我们下定义的方式从来都不是“它是什么”，我们不曾讨论过“1是什么？”、“1真实存在吗”等等，我们只会描述“1”可以用来做什么，比如“我在马路边捡到1元钱”、“这次考试我考了班级第1，倒数的”。

明确我们想要它来干什么，再用公理来规范它，即所谓的公理化，至于它本身有没有意义之类的，who care。

我们想要自然数实现什么？

（1）基数功能：表示数量；

（2）序数功能：表示顺序；

（3）运算功能：如果1+2不能得到3的话，那么1+2与a+b又有什么区别？

原始人结绳计数

二、什么是自然数？

通用的定义自然数的公理是皮亚诺（Peano）公理，以下内容参考《陶哲轩实分析》一书，关于皮亚诺公理作简单介绍。

陶哲轩实分析

首先我们想要的自然数是指一类数，彼此之间也是有关系的，我们需要两个基础概念：数0和增长运算，由0开始增长得到后面的其他的自然数，我们用n++来表示n后面的数，称为数n的“后继”，比如0++=1,（0++）++=2等等。

公理1：0是自然数。

关于0到底是不是自然数，本文就不讨论了。数学是基于公理体系下的符号游戏，只要不引起矛盾或纠纷，这个说法便是ok的。

公理2：若n是自然数，则n++也是自然数。

我们可以理解自然数集是0，0++，（0++）++，（（0++）++）++……这么一串数，只是为了书写方便，我们改为了0，1，2，3，4……

好像对于描述自然数，以上两条就够了，但我们还需更明确一些，关于每个数的后继。

用过这种计算器的应该会知道，如果算出的数结果很大，会显示归零。

同样对于自然数集，我们需要：

公理3：0不是任何自然数的后继，即对于任意自然数n，都有n++≠0。

规避掉归零的情况还不够，我们还需要保证，后面数的后继也不会归1、归2等等，比如4++≠1，4++≠2……

公理4：不同的自然数有不同的后继。若m、n是自然数且m≠n，则m++≠n++，等价地说，若m++=n++，必有m=n。

对于自然数已经比较规范了，但对于运算来说还差点意思。

公理5：（数学归纳原理）

设P（n）是关于自然的是一个性质，假设P（0）是真的，并假设只要P（n）是真的，则P（n++）也是真的。那么对于每个自然数n，P（n）都是真的。

就好比当我们有了1+1=2，便可得到2+1=3，3+1=4……

对于自然数，我们想要的是具有一般性的结论，而这一点需要数学归纳来完成。

自然数

自然数：存在一个数系N，称其元素为自然数，公理1—5对此数系成立。

皮亚诺

三、加法是什么？

假装解决了第一个问题：什么是自然数。接下来该说说什么是加法了。

在前面我们提过自然数的一个基本运算：增长，表现了自然数之间的关联，在此基础上来建立加法运算。

加法：设m是自然数，定义：0+m=m。假定已经定义好如何使n加上m，那么定义（n++）加上m为（n++）+m=（n+m）++。

比如当定义1+3=4时，那么2+3=（1+3）++=4++=5，3+3=（2+3）++=5++=6……

这还不够，m+0=m吗？以及n+（m++）=（n+m）++吗？这些我们还都不知道呢，我们也希望同样由1+3=4能得到1+4=5。

证明1：对自然数m，m+0=m。

已知0+m=m但并不能由此直接得出m+0=m，我们还并不知道加法交换律这么回事。

公理告诉我们这里我们可以用的方法是数学归纳，

根据0+m=m以及0是自然数，可得：0+0=0

现假定n+0=n，根据加法定义，

那么（n++）+0=（n+0）++=n++

所以对任意自然数m，均有m+0=m。

证明2：对任意自然数n和m，n+（m++）=（n+m）++

依然数学归纳法

对n进行归纳，当n=0时，

0+（m++）=（0+m）++

假定n+（m++）=（n+m）++，

接下来证（n++）+（m++）=（（n++）+m）++。

左式=（n+（m++））++=（（n+m）++）++

右式=（（n+m）++）++

故左式=右式。

准备工作做好了，剩下的任务就简单了。

四、这t（题）m（目）也能证？

假装理解了题目给我们暗示的两个条件：

（1）什么叫自然数；

（2）什么是加法。

是时候证明加法交换律了。

加法交换律：对于自然数n和m，n+m=m+n。

证明：对n进行归纳，

首先考虑当n=0时，0+m=m，m+0=m，故0+m=m+0成立，

假定n+m=m+n成立，下证：（n++）+m=m+（n++）

根据加法定义：（n++）+m=（n+m）++

根据证明2：m+（n++）=（m+n）++

根据假定：（m+n）++=（n+m）++

故（n++）+m=m+（n++）

于是对任意自然数n、m，均有n+m=m+n。

我问佛，了解这玩意有什么意义？

佛说，你已经做了这么多无意义的事，又何必多在意这一件？

我不禁泪流满面