三角形中角格点问题,多数人并不知道是什么,很难但非常有趣!

近日，经常有人问我什么是角格点问题.可能是我的一个专栏吸引了大家讨论，这是好事.毕竟大家对这类问题思考多了，就想总结这类题型.其实，要回答此问题，一句话两句话也讲不清楚.今天我们来解答一下很多同学的疑问.

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先来一个简单的问题，看看大家能否解答出来：

题目只告诉你三角形中的一些角度，要求其中一个未知的角度，题设比较简单，但相信多数同学解答此题是有困难的，这就是三角形中的角格点问题中的一个.

三角形中的角格点问题：三角形的三个角的度数都是10度的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连接后，得到的所有角也是10度的整数倍，而三角形内的这一点称为三角形中的角格点.

那这样的点和三角形到底有多少个呢？

其实经过研究发现，这样的三角形有19种，角格点的总数有45个.由于种类繁多，我只举几个例子.

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130,30,20

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120、40、20

如何解答呢？如果是纯粹几何法来解答，多数人会觉得太难想了，尤其是辅助线.我们来看一个题目的几种解法，感受一下辅助线的碾压：

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方法1

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方法2

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方法3

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方法4

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方法5

方法很多，但是很明显普通正常人根本就想不到辅助线的作法.当然，通过这些方法，同学们可以做一些总结，其常用的方法是什么.例如利用三角形内心、外心的性质，角平分线和等腰三角形的性质，或者干脆利用对称来解决问题.

当然，其实前辈早已经将此问题研究透彻，田永海老师在其<三角形中的角格点问题>分析得非常清楚.感兴趣的同学可以了解，适合数学爱好者.

后续：其实角格点问题的证明本身具有"思维灵活，表达简捷，行文流畅，推理严谨，能够改编出大量题目新颖，难度适中，富趣味，耐考究，档次齐全，方法多样，覆盖面广，技巧性强等特点的习题.这些习题能够帮助学生巩固基础知识，发展创造性思维，磨练意志.

以下几个问题留给大家，欢迎大家积极思考.

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答案可以参考这篇文章

非标准状态下的角格点问题，能看懂就行