第30讲 典型例题与练习参考解答：定积分的物理应用
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第30讲：定积分的物理应用
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设曲线型物体 的线密度与其上的点到轴的距离成正比（比例系数为 ），试求该物体的质量.
练习2：设有一半径为的圆板，其面密度为, 是圆板上点到圆板中心的距离，求该圆板的质量.
练习3：设一蓄满水的圆柱形水桶高为, 底圆半径为, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? (设水的密度为) .
练习4：从地面垂直向上发射质量为 的火箭, 当火箭距离地面 时，求克服地球引力做的功. 如果火箭要脱离地球引力范围，火箭应具备多大的初速度?
练习5：有一个宽𝟐m，高𝟑m的长方形平板闸门，其顶边离水面𝟐m，求闸门所受的水压力.
练习6：设一水平横放的半径为的圆桶，内盛半桶密度为的液体，求桶的一个端面所受的侧压力.
练习7：设有一长度为 𝒍，线密度为 𝝁 的均匀细直棒，在其中垂线上距𝒂单位处有一质量为 𝒎 的质点 𝑀，试计算该棒对质点的引力. 当质点位于棒的左端点垂线上时，如何计算棒对质点的引力？
练习8：设星形线 , 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力．
练习9：为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口，已知井深𝟑𝟎𝐦 ，抓斗自重𝟒𝟎𝟎𝐍，缆绳每米重𝟓𝟎𝐍，抓斗抓起的污泥重𝟐𝟎𝟎𝟎𝐍，提升速度为𝟑𝐦/𝐬 ，在提升过程中污泥以𝟐𝟎𝐍/𝐬 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳( 𝑱 ) 功?
练习10：斜边为定长的直角三角形薄板，垂直放置于水中，并使一直角边与水面相齐，问斜边与水面交成的锐角 𝜽 取多大时, 薄板所受的压力 𝑷 最大 .
练习11：有一个贮油罐，装有比重为 吨米的油料，为便于清理和检修，罐的下部侧面开有一个半径为毫米的圆孔，孔的中心距液面为毫米，孔口挡板用螺钉固紧，已知每个螺钉能承受吨的力，问至少要多少个螺钉？
练习12：某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而做功. 设土层的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为)，汽锤第一次击打将桩打进地下 . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 . 问:
(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设曲线型物体 的线密度与其上的点到轴的距离成正比（比例系数为 ），试求该物体的质量.
【参考解答】：由曲线型物体的质量计算公式，有
练习2：设有一半径为的圆板，其面密度为, 是圆板上点到圆板中心的距离，求该圆板的质量.
【参考解答】：由于圆板的密度仅仅与到圆板中心的距离有关，也就是说到圆板中心距离相等的位置面密度相同. 于是考虑选取变量为圆板到中心的距离 ，并且. 于是区间上分布的图形为圆环，其密度近似为 处的密度，而面积可以近似为一个长条矩形，即底为半径为 的圆周长，高为 ，于是得
所以所求总体的质量为
练习3：设一蓄满水的圆柱形水桶高为, 底圆半径为, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? (设水的密度为) .
【参考解答】：建立坐标系如下图.
在任一小区间上的一薄层水的重力为，将其吸出桶外所作的功为，所以所求的功为
练习4：从地面垂直向上发射质量为 的火箭, 当火箭距离地面 时，求克服地球引力做的功. 如果火箭要脱离地球引力范围，火箭应具备多大的初速度?
【参考解答】：建立坐标系如下图.
(1) 求火箭受地球的引力. 设地球质量为 ，半径为 ，火箭离地面距离为 ，根据万有引力定律，火箭受到的地球引力为
其中为万有引力常数. 特别，当 时， ，其中为地球表面点 处的重力加速度，即
则有
(2) 求火箭距离地面时，克服地球引力所作的功 . 任取，将地球引力近似看作常数 ，于是功的微元为
于是火箭克服地球引力所做的功为
(3) 求火箭脱离地球引力范围应具备的初速度. 当火箭脱离地球引力范围时，相当于 无限增大，此时火箭克服地球引力所作的功
【注】火箭克服地球引力所做的功全部转化为其势能，而它来自于火箭的动能. 设初速度为 ，动能为 ，于是给予火箭的动能至少要等于克服地球引力所做的功，即应有
代入具体数值，算得
称为第二宇宙速度.
练习5：有一个宽𝟐m，高𝟑m的长方形平板闸门，其顶边离水面𝟐m，求闸门所受的水压力.
【参考解答】：建立坐标系如下图.
以为积分变量，其变化区间为 ，在 中任取，对应这一窄条平板所受的压力近似看作深度为 处的压强与窄条平板面积之乘积，即
从而闸门所受压力
练习6：设一水平横放的半径为的圆桶，内盛半桶密度为的液体，求桶的一个端面所受的侧压力.
【参考解答】：建立坐标系如下图.
则半圆的方程可以表示为
则内侧面所受的压力为
从而可得整个端面所受侧压力为
练习7：设有一长度为 𝒍，线密度为 𝝁 的均匀细直棒，在其中垂线上距𝒂单位处有一质量为 𝒎 的质点 𝑀，试计算该棒对质点的引力. 当质点位于棒的左端点垂线上时，如何计算棒对质点的引力？
【参考解答】：如图所示建立坐标系.
取为积分变量，其变化区间为 . 在区间内任取一小区间 ，对应这一小段细直棒视为质量集中于 处的质点，其质量为 ，由万有引力定律，该小段细棒对质点 的引力大小为
由于细直棒上各点对质点的引力方向是变化的，所以对引力作分解，这样 在 轴、 轴方向上的分量分别为
由对称性知，.
故棒对质点的引力大小为
当质点位于棒的左端点垂线上时，以垂足为原点，右向棒所在直线为 轴，竖直向上为 轴建立坐标系，则区间为 ，从而可得端对应的引力微元分别为
于是可得
此时引力大小为
练习8：设星形线 , 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在原点 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力．
【参考解答】：以为积分变量， ，如下图．
任取 ，线密度 ，则
则，所以
根据对称性可知，所以最终力的大小为
方向指向弧段中心．
练习9：为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口，已知井深𝟑𝟎𝐦 ，抓斗自重𝟒𝟎𝟎𝐍，缆绳每米重𝟓𝟎𝐍，抓斗抓起的污泥重𝟐𝟎𝟎𝟎𝐍，提升速度为𝟑𝐦/𝐬 ，在提升过程中污泥以𝟐𝟎𝐍/𝐬 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳( 𝑱 ) 功?
【参考解答】：如图建立坐标系.
将抓起污泥的抓斗由提升所作的功为
其中克服抓斗自重：
克服缆绳重:
抓斗升至 处所需时间为，故提升抓斗中的污泥：
从而可知所做的功为
练习10：斜边为定长的直角三角形薄板，垂直放置于水中，并使一直角边与水面相齐，问斜边与水面交成的锐角 𝜽 取多大时, 薄板所受的压力 𝑷 最大 .
【参考解答】：如图建立坐标系.
设斜边边长为 ，则其方程为
从而可得压强为
令，即有
由于，得唯一驻点
由在单调递减，可知 , ， 函数单调增加； , ，函数单调递减，即为极大值点，也是最大值点，即 即为所求.
练习11：有一个贮油罐，装有比重为 吨米的油料，为便于清理和检修，罐的下部侧面开有一个半径为毫米的圆孔，孔的中心距液面为毫米，孔口挡板用螺钉固紧，已知每个螺钉能承受吨的力，问至少要多少个螺钉？
【参考解答】：以孔的中心为坐标原点,垂直向上方向为 轴，建立坐标系，如下图.
圆孔表面所受压力为
因此，至少要螺钉（个）．
练习12：某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而做功. 设土层的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为)，汽锤第一次击打将桩打进地下 . 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 . 问:
(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?
【参考解答】：(1) 记是第 次击打将桩打进地下的深度，是第 次击打所做的功，则
由于，即
由于，即
(2) 以此类推，得
所以取极限得
即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下.