世界上最美丽的函数——γ函数，一颗数学皇冠上的明珠，可以回答分数阶乘的问题

你最喜欢的函数是什么？如果你的答案不是伽马函数，那么我将在你读完这篇文章后再问你一次。你的答案可能会变。

背景介绍

在18世纪20年代后期，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）正在思考如何将阶乘扩展到非整数范围。我会向你们展示他的研究成果以及这些成果的惊人特性。在本文的后面，我将揭示我们如何赋予1/2！意义，并给出它的值。

阶乘

我们先回想一下阶乘是什么。它是前n个自然数的乘积：

例如：

阶乘在数学中很重要的一个原因是它可以表示我们排列事物的方式的数量。假设你的书架上有12本书。你可以用多少种方式来排列它们？这个问题的答案是12的阶乘，大约是4.79亿种方式。

从这个例子中可以看到，阶乘函数增长得非常快。事实上，它的增长速度快于指数增长。

γ函数

真正使欧拉伟大的是他解决问题的方式。我们很快就会看到，他思考问题的方式多么具有创造性。1738年，欧拉把阶乘推广成一个由某个积分定义的函数形式，即：

其中，log是自然对数（有时记为ln）。

通过替换s = exp（-t），其中exp是以e为底的指数函数，我们得到：

因此我们得出了一个惊人的事实：

为了证明这个积分实际上是阶乘，我们把右边的积分称为Π(n)，我们做一些偏积分：

这是一个很好的函数方程，它使我们能够用归纳法来证明这个公式。

我们要证明Π(n) = n！对所有自然数n都成立。

首先，请注意：

即Π(1) = 1 = 1！。

接下来，假设Π(n - 1) = (n - 1)！。然后有：

这里我们用了上面的函数方程。用归纳法，证明就完成了。

注意，在以上Π(n)的定义中，n不一定是一个自然数。这个表达式对于所有具有非负实部的复数都有意义。

处理这些广义阶乘的现代方法是通过伽马函数。伽马函数非常类似于Π函数，它的定义如下：

注意，Γ(n) = Π(n - 1) = (n - 1) ！，对所有自然数n都成立。

因此， 伽马函数也满足类似的函数方程，即：

所以，伽马函数是广义的阶乘函数Γ(n+1) = n！，对所有非负整数n都成立。

但这是一个唯一的归纳吗？答案是否定的。但是，如果我们给它一个约束条件，那么它就是了。这个约束与对数凸性的概念有关，但我不会在这里详细描述它。

具体要求是函数 log Γ是凸的。

二次可微函数f是对数凸的当且仅当：

维尔斯特拉斯积

我们已经发现了无数种函数的定义和形式。一个特别好的例子是无穷大的乘积。在此之前，让我们试着从定义中得出一些有趣的结果。我们要做的第一件事可能一开始看起来很奇怪，但有时在数学中，你应该尝试并遵循逻辑结果，同时运用你的直觉。

我们将把指数函数写成极限形式并把它代入伽马函数的定义中。首先：

这可以用很多方法来证明。

回想一下，几何级数有一个封闭形式：

如果|x| < 1则成立。将x代入-x，得到：

现在我们可以对两边做进一步的处理：

假设n > x，那么我们可以代入z = x/n。

现在，如果我们取n→∞时的极限，很明显：

有了这个结果，现在就可以直接计算出想要的结果了。

通过替换，这个等价于这个表述：

现在让我们在Γ（z）的定义中使用这个结果：

我们把这个积分称为极限内的I(n， z），多次使用偏积分可以得到：

继续下去，当我们最终消去1 - t/n项的指数时，我们可以积分得到：

为了得到Γ（z），我们取其极限：

这是一个非常著名的结果，但我们不想止步于此。

让我们对这个极限进行一些简单的处理。

这里我们在e的指数上加减∑z/i。注意，log是自然对数。

我们现在可以把指数分开，利用这样的事实，即指数中的和就是乘积：

欧拉常数是：

在上面的表达式中，如果我们现在取函数的极限，我们得到一个美丽的结果，称为函数的维尔斯特拉斯积。

这是一颗数学明珠。在某种程度上，这是对Γ更好的表示，我们稍后将对此进行讨论。

欧拉反射公式

数学中最美妙的等式之一出欧拉。这次我不是在讨论他著名的欧拉恒等式，而是讨论欧拉反射公式。欧拉发现了以下惊人的结果，将伽马函数与三角函数联系起来。

这个等式的证明如下。

回想一下，欧拉也发现了正弦函数的无穷积：

回想一下维尔斯特拉斯积，对于 Γ可以写成：

现在，通过比较Γ（z）和Γ（-z）的乘积，可以很简单地计算以下内容：

现在我们可以用函数方程来表示函数：

进一步：

很明显，z不可能是整数，因为上面的分母是0。

伽马函数的应用

伽马函数在数学中随处可见。从统计学，数论，数学中的复分析，到物理学中的弦理论。它似乎是一种数学粘合剂，将不同的领域联系在一起，这是有原因的，我们稍后会看到。

它对数论很重要的一个原因是它与黎曼ζ函数有特殊的关系。让我们再看一遍定义，但这次使用了替换。设n为自然数。然后通过替换t = nx，我们得到：

因为这对所有自然数n都成立，我们可以把两边相加得到：

因此，我们得到了ζ函数和γ函数之间的美妙关系：

然而，这只对Re（s） > 1有效。

这是第一个关系。下面是一个更深入、更有趣的结果，我认为它是世界上最美丽的函数方程之一，我将在不证明的情况下得出：

伯恩哈德·黎曼在1859年发现了它，它通过γ函数给出了很多关于ζ函数的知识。例如，在负偶数处，我们可以清楚地看到ζ的平凡零点。这是因为，通过解析地将Γ（s）延拓到整个复平面，我们可以看到它在非正整数处有极点。

在理论物理学中，欧拉也发现了β函数，意大利理论物理学家维内奇诺在1968年用它来描述强相互作用的介子。欧拉β函数可以由下式定义：

原因是它描述了弦理论中第一个已知的散射振幅，在某种意义上，这是这个问题的唯一解。它还与Γ负整数处的极点有关。

另一个惊人的美丽结果与伽马函数的增长有关。叫做斯特灵公式（Stirling’s formula ）：

这就是说，上面两边的增长速度是相同的，也就是说，当z趋于无穷时，它们的比值的极限趋于1。

欧拉积分公式

在推导Γ（s） ζ（s）的积分公式时，我们对两边求和，得到了一些级数。欧拉并没有这么做，而是做了一些了不起的事情。他做了一个更一般的代换，最后得出了一个神奇的公式，里面包含了各种有趣的东西。

让我们看看他是怎么做的，这些公式是：

在欧拉时代，人们对复分析了解不多，但他有一个奇妙的直觉，因为他知道当w是正数时，这个关系成立，他考虑了当w是一个带有Re（w） > 0的复数时会发生什么。

设w∈ℂ，Re(w) > 0。然后通过对上面方程的两边共轭w，我们得到：

现在一个绝妙的想法来了！

令w = a + bi，w的辐角为θ，|w| = r，使w = r⋅exp(θi)。然后我们可以用一种有趣的方式写出上面的式子：

这个超级公式包含了很多美妙的关系，我们很快就会意识到。

最后一步是把它写成相应的实部和虚部（使用欧拉恒等式），并考虑这两个公式都隐藏在符号中。

注意它们是伽马函数的泛化，因为如果我们让w=1，那么我们就可以从余弦积分方程中得到伽马函数的定义。

狄利克雷积分的推广

这是一个有趣的问题。求下面积分的值：

这是一个非常著名的问题，有很多方法可以求出I如拉普拉斯变换，二重积分，甚至是费曼技巧。我们将试着从上面优美的欧拉公式中推导出来。实际上，我们将把这个问题推广到一个更一般的结果，这个积分是一个特例。

为了做到这一点，我们首先用欧拉反射公式来重写sin方程的左边。我们可以用洛必达法则来证明：

我们对欧拉正弦积分公式的左边做一点变换：

通过以上计算，得到：

因为-π < θ < π

因此，通过对右边取极限，我们得到：

这是一个很妙的公式。注意，如果取a趋于0时的极限，那么在所有实数b≠0时，左边趋于π/2。也就是说，以下等式成立：

在特殊情况下，w=i将解出狄利克雷积分，因为a=0，b=1。

所以，狄利克雷积分I = π/2。

伽马函数的解析延拓

还有一件很重要的事我们还没讨论。回想一下伽马函数的定义：

我们可以证明这个积分只对 Re(z) > 0收敛。

然而，在复分析中，全纯和亚纯函数有一个很好的性质，即给定一个域为D的函数f，如果存在另一个亚纯函数g，它的定义域包含D作为子集，如果f = g在D的开子集上（如果你不知道这是什么，你可以想象一个复平面上的小圆盘），那么f = g在所有D上成立。

也就是说，函数f只能用一种方法推广到更大的定义域。它只是有不同的表示。

所以即使上面的定义是正确的，当z的实部是一个正的实数时，我们需要记住，这只是函数的一种表示。

如果我们看看威尔斯特拉斯积：

我们可以证明它对所有复数z都收敛除了非正整数。所以这个表示在某种意义上更好。这也表明，伽马函数没有任何零点，它在负整数和0处有极点。

还有另一种方法可以进一步解析伽马函数。回想一下：

这揭示了：

用同样的方法：

这表明我们可以做一个解析延拓来显示Γ的亚纯表示（在非正整数处也看到了极点）。

1/2 的阶乘是什么？

因为Γ(n+1) = n！对所有非负整数n都 成立，我们可以通过计算Γ(1/2 + 1) = Γ(3/2)赋予1/2！意义。但具体该怎么做呢？首先注意，通过函数方程Γ(z+1) = z Γ(z)，我们可以简化问题：

因此，找到Γ(1/2)就足够了。

在特殊情况z = 1/2下，我们再次使用欧拉反射公式：

因此，我们现在可以解释：