三角形（二十二）

对称，是数学和物理中一种非常重要的思想方法，运用对称性解决问题是常用的手段。

大自然中对称性无处不在，这往往也是我们解题的办法。有些题目如果硬做会很费事，但是借助对称的话三两下就能摆平。

不对啊，贼老师，你不是一直喜欢硬算么？

你看，很多时候我们学东西都是生搬硬套，只记得我喜欢硬算，却不记得我还说过：要用最自然的思路。如果我们能够在平时训练过程中培养起对对称性问题的敏感性，那为什么还要硬算呢？

硬算，是没有办法的办法，是你绝地求生的最后一击。我们平时训练要把计算练好，同时也要锻炼眼力，这并不矛盾。实在没办法的情况下有硬算兜底，这样失分可以少一些。

关于对称性问题，初中阶段最常见的就是将军饮马问题。相传在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

如果这个要硬算的话，我们需要分别测量出A点和B点到河边的距离a和b，然后设A点在河所在的直线的射影为C（即AC垂直于河所在的直线），B点的射影为D，再测出CD的距离c。设最佳点为E，我们设CE=x，则DE=c-x，然后列出将军需要走的距离关于x的函数：

你要求出这个函数在x取什么值的时候才有最小值，也太难为中学生了。。。

但是如果我们用对称的想法，那就非常简单。我们作A关于CD的对称点F，然后连接BF，则BF和CD的交点E就是我们要找的点。

你说这是最短就是最短了？我们当然可以证明。因为E不管取在哪里EA+BE都等于EF+EB≥BF，所以BF一定最短。

你看，对称是不是很有用？

关键问题是：对称不光是一种技巧，还是一种思想。有的家长分不清技巧和思想的区别，技巧就是工具，比如说把钉子敲进木头里需要用榔头，而思想就是对数学的理解和认识，比如你做椅子，就要想靠背怎么做，扶手怎么做，腿怎么做，要有这样的想法。

对称不光能提供榔头，还能给你构想，你说这玩意好不好用？

再举个例子。二次函数是整个中学阶段数学的重点和难点了，无论是中考还是高考都离不开二次函数。但是二次函数的本质又是什么？

从图像上看，二次函数就是个对称图形，对称轴就是二次函数的灵魂。如果没有对称的思想，你是很难把二次函数学好的。无数的大考中对称轴都发挥出了巨大的作用，你说对称重要不重要？

他山之石可以攻玉，学习对称除了能够解题以外，更重要的是在于培养起对称的思想，这才是这章的目的，千万不要本末倒置，以为会做几个题就万事大吉，那样的话真的是拣了芝麻丢了西瓜了。