线段和差的最值动点典型题分析

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【方法技巧】 解决线段和差问题问题，关键在于找出两个“量”：一是定点，二是动点或不定点所在的定直线；进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等几何原理来求解；或者转化为函数关系，利用函数最值来求解．其中“垂线段最短”和“两点间线段最短”是根本依据，“三点共线”“轴对称”“旋转”则是利用作图来实现“垂线段最短”和“两点间线段最短”的变换方式；而通过函数表达式，进而利用函数最值来求线段和差的最大值或最小值，则是数形结合的体现．

【典型题1】难度★★

【思路分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明RT△ADE′≌RT△ABF即可得解．

【答案解析】过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．

∴PA+PE的最小值AE′；

∵E为AD的中点，

∴E′为CD的中点，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,

∴DE′=BF，

∴ΔABF≌ΔAD E′，

∴AE′=AF.故选D.

【典型题2】难度★★