一道含多个经典几何模型的网研几何压轴题分享
(大丁老师编)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，CG平分∠ACB，GF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，
GH⊥BC交BC于点H,交AB于点K,连接AG、BG、EH.
(1)求证:∠KGE=∠AGD;
(2)探究AC与EH之间的数量关系，并证明；
(3)若BF=kCF，求(FH/FG)的值(用含有k的式子表示)
过点G作GP⊥AC，交CA延长线于点P。
因为CG平分∠ACB，GP⊥AC，GH⊥BC，根据角平分线性质有GH=GP，GF垂足平分AB，所以GB=GA，故可证△BHG≌△APG，则∠AGP=∠HGB，所以∠AGB=90°，则∠EGA=45°，而∠AGP=45°，所以∠FGC=∠AGP，所以∠KGE=∠AGD.
由（1）的推导易知△GHC和△GEA为等腰直角三角形，结合（1）中所证结论，可得△HGE∽△CGA，所以CA：HE=CG：HG=√2。
经前面分析发现此正方形中出现，角含半角模型，故可推出△BGF≌△AGF，所以BF=FA，不妨设FC=1，则BF=FA=k，可表示AC如下图。
由∠ABC=∠HGF，而∠ACB=∠FHG=90°，故可证△ACB∽△FHG，所以FH：FG=AC：BA，于是问题得解。
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