磨刀不误砍柴工 / 开普饭

磨刀不误砍柴工

作者：李广生

上周五到仓上小学调研，听了两节课，一节四年级数学课，刘老师执教，内容是方阵问题；一节是一年级语文课，信老师执教，内容是汉语拼音ai ei ui。

方阵问题是数学中的典型问题，不仅在学校的考试中，社会上的各类考试中也经常出现，比如企事业单位和公务员招考。为何大家如此青睐方阵问题？一方面它确实能够帮助人们解决生活中的实际问题，比如摆花、队列、清点物品数量等等。但是，如果仅仅是为了这个目的，其实没有必要费那么大力气学习这个内容，记住几个公式即可。另一方面，它能考察一个人的思维水平、解决问题的能力。这才是方阵问题被广泛应用于各类考试的主要原因。因此，方阵问题进入教材、出现在课堂上，最主要的目的在于培养孩子发现问题、分析问题、解决问题的能力，而不是简简单单的解题。

我们必须要注意区分解题和解决问题。解题不是解决问题的简称，虽然有些时候它们表达的意思相同，但在更多的时候，它们有着严格的区别——解题通常指解答书本上的题目，解决问题通常指解决生活中的实际问题；解题能力强，解决问题能力不一定强。为解题而教，还是为解决问题而教，是摆在教师面前的一个选择。

孩子会解题了，甚至能够熟练地解答难度较高的题目，但为何在面对生活中的实际问题时依然不知从何入手？很多人认为这是知识的迁移出现了问题，简单地说就是没有把书本上的知识迁移到生活中，没有把这个情景中习得的知识、获得的经验迁移到那个情景中。正因为如此，教师会花很大力气促成知识的迁移，最常用的办法是增加题量和变换题型，通过大量的形式多样的习题以巩固和深化知识的学习。有一种教学理念名曰“精讲多练”，大致是出于这种考虑。

解决方阵问题是有现成公式的，比如：①方阵总人数等于最外层每边人数的平方和；②方阵外层人数等于外层每边人数乘以4，再减去4；③方阵相邻两层相差人数为8，等等。熟记这些知识点并辅之以大量的练习，解题应该不在话下。教师需要做的工作主要是：①帮助学生理解题目；②建立已知与未知的联系；③ 利用公式计算。

以下面这道题为例说明：一个用围棋子摆成的矩形方阵，去掉最外面一层后减少了32颗围棋子，问原来方阵共有多少颗围棋子？

第一，理解题目。重点是弄清已知和未知。这道题的未知很明显，即方阵棋子总数；已知稍微隐晦一些。去掉最外层减少32颗围棋子，就说明最外层有32颗围棋子。实际上这道题就是：已知最外层棋子数，求方阵棋子总数。

第二，建立联系。建立已知与未知的联系，重点是思考① 能否通过已知直接求出未知，② 如果不能，如何在已知与未知的中间地带找到它们的联结点。很明显，不能用最外层棋子数直接求出方阵棋子总数。但是，有现成的公式通过最外层棋子数求出最外层每边的棋子数，也有现成的公式通过最外层每边的棋子数求出方阵棋子总数。最外层每边棋子数就是已知和未知的联结点。

第三，计算求解。下面就简单了，就是利用公式进行计算。已知最外层棋子数为32颗，因为最外层棋子数等于每边棋子数乘以4再减去4，所以最外层每边棋子数为9颗；因为方阵棋子总数等于最外层每边棋子数的平方，所以方阵棋子总数为81颗。

上面所做的这些工作，都是围绕解题而是进行。事实上这样做的结果还是只提高了解题能力，而无助于解决问题能力的提高。或是说，提高了考试分数，但没有提高实际能力。“高分低能”就是这样造成的。

如果用迁移理论进行解释的话，那么我们必须关注另一种迁移，即认知的迁移。迁移不仅包括知识的迁移——把知识运用到不同的情景中，还包括认知的迁移——知识是如何形成的。上面所说的那些解决方阵问题的公式或技巧，它们从何而来，是被告知的吗，还是通过自己的探究发现的？如果是被告知的，这些知识就是静态的陈述性知识，孩子们要做的是知识的迁移，提高的是解题能力；如果是自己探究发现的，这些知识就是动态的程序性知识，孩子们进行的是认知的迁移，发展的是解决问题的能力。

课堂上教师总是迫不及待的揭示结论，对认知迁移非常吝啬。他们总是希望用最快的速度、最便捷的方式跨越认知过程，让孩子们获得知识，然后把大量的时间和精力用来练习知识的应用。因此我建议刘老师，一定要给孩子充足的时间观察方阵，让孩子研究方阵的特点、探究方阵的秘密。在这一过程中发展孩子的认知，而不仅仅是丰富孩子的知识。

用“点阵图”研究方阵是非常直观并便捷的方法，但很多教师都习惯把绘制好的“点阵图”交给孩子，让孩子们在图上圈一圈、画一画。殊不知这样做还是为了知识的获得而不是认知的发展。把具体的问题，如摆花、站队、停车等，抽象为“点阵图”，是认知的一大突破，是数学建模的第一步。这么有意思又有意义的事情，却被教师替代了，实在可惜。孩子们习惯了使用教师提供的“点阵图”分析问题，遇到实际问题没有人给提供“点阵图”了，便不知道怎么分析了。让孩子自己绘制“点阵图”，肯定费时费力，但这样做值得，因为它可以发展孩子的认识，让孩子学习怎么思考。

孩子观察的矩阵时，教师总是要引导他们思考几个问题。这几个问题实际上为孩子铺设了一条通往知识的路。沿着这条路走下去，毫无疑问也毫无偏差的会得到那些知识。这样做，与其说是引导孩子，还不如说是牵引孩子。在这种情况下，孩子们的发现往往是“被发现”，他们的探究往往是“假探究”。习惯了这样的思考——被牵引着的思考，将会导致他们离开牵引之后不会思考、不能思考、不爱思考，就像长期拄着拐杖行走的人离开拐杖之后不会行走一样。没有过多的引导和提示，让孩子在自然的真实的观察中，逐渐形成发现问题的能力，才能使他们的认知得到发展，真正学会学习。发现是学习的开始，没有发现就没有学习。

知识的应用使孩子获得解题能力，知识的形成使孩子获得解决问题的能力。解决问题能力的提升将有助于解题能力的提升。因此，在教学中把用后面练习的时间拿出一部分用于前面的研究，是非常有必要的。俗话说“磨刀不误砍柴工”，正是这个道理。“磨刀”就是发展认知，“砍柴”就是应用知识。

我并不否定解题能力的重要，但不能片面的机械的培养解题能力，不能把孩子当成解题的机器来培养。推荐一本书，美国数学家波利亚所著《怎么解题》。在我看来，这不仅是一本数学教师的必读书，也是所有教师都需要认真读一读的书。

“怎样解题表”本书的精华，该表被波利亚排在该书的正文之前，并且在书中再三提到该表。实际上，该书就是“怎样解题表”的详细解释。波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，以下是其主要内容：

怎样解题表

第一，弄清问题

未知数是什么？

已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？

条件是什么？

满足条件是否可能？

要确定未知数，条件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。

引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

找出已知数与求知数之间的联系。

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

第二，拟定计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四，回顾反思

你能否检验这个论证？

你能否用别的方法导出这个结果？

你能否一下子看出它来？

你能不能把这结果或方法用于其它的问题？